Lamelle orthotrope en contraintes planes¶
Conventions d'axes¶
1: direction principale des fibres;2: direction transverse dans le plan du pli;3: normale positive au pli;x-y: axes locaux de l'element de coque;theta: rotation positive antihoraire dexvers1, vue suivant+3.
La transformation complete d'une future coque stratifiee suivra deux etapes :
global vers repere local MITC4, puis repere local x-y vers repere materiau
1-2. Seule la seconde transformation est active dans ce premier socle.
Les vecteurs utilisent le cisaillement d'ingenieur :
[ \boldsymbol\varepsilon = \begin{bmatrix}\varepsilon_x&\varepsilon_y&\gamma_{xy}\end{bmatrix}^{T}, \qquad \boldsymbol\sigma = \begin{bmatrix}\sigma_x&\sigma_y&\tau_{xy}\end{bmatrix}^{T}. ]
Reciproquite et admissibilite¶
Les donnees independantes sont E1, E2, nu12 et G12. La symetrie de la
loi elastique impose :
[ \nu_{21}=\nu_{12}\frac{E_2}{E_1}, \qquad \Delta=1-\nu_{12}\nu_{21}>0. ]
QF_solver refuse les modules non positifs, les valeurs non finies, une densite
negative et toute combinaison donnant Delta <= 0. Ces controles garantissent
la positivite de la loi reduite, mais ne qualifient pas un materiau reel : les
constantes doivent encore provenir d'essais et d'un domaine de temperature et
d'humidite documente.
Matrice reduite Q¶
Sous l'hypothese sigma_3=tau_13=tau_23=0 :
[ \begin{bmatrix}\sigma_1\\sigma_2\\tau_{12}\end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} E_1/\Delta & \nu_{12}E_2/\Delta & 0\ \nu_{12}E_2/\Delta & E_2/\Delta & 0\ 0&0&G_{12} \end{bmatrix}}{\mathbf Q} \begin{bmatrix}\varepsilon_1\\varepsilon_2\\gamma. ]}\end{bmatrix
La classe OrthotropicLamina expose nu21, reduced_stiffness et controle
que les trois valeurs propres de Q sont positives.
Transformation Qbar¶
Pour eviter une ambiguite de signe dans les formules developpees, le code reconstruit les tenseurs symetriques, applique la rotation orthogonale, puis revient aux vecteurs de Voigt. Avec
[ \mathbf R(\theta)= \begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}, ]
les transformations sont :
[ \boldsymbol\varepsilon^{12}{\mathrm{tensor}} =\mathbf R^T\boldsymbol\varepsilon^{xy}\mathbf R, \qquad \boldsymbol\sigma^{xy}}{\mathrm{tensor}} =\mathbf R\boldsymbol\sigma^{12}\mathbf R^T. ]}
La matrice Qbar(theta) est obtenue en appliquant cette operation aux trois
deformations unitaires. Cette construction garantit simultanement la symetrie
et l'invariance de l'energie :
[ \frac12(\boldsymbol\varepsilon^{xy})^T\overline{\mathbf Q} \boldsymbol\varepsilon^{xy} =\frac12(\boldsymbol\varepsilon^{12})^T\mathbf Q \boldsymbol\varepsilon^{12}. ]
Demonstration numerique 0, 90 et +/-45 degres¶
Pour E1=135 GPa, E2=10 GPa, nu12=0,3 et G12=5 GPa, on obtient
nu21=0,0222222. Les matrices ci-dessous sont en GPa.
| Angle | Qbar11 | Qbar22 | Qbar12 | Qbar16 | Qbar26 | Qbar66 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 135,906 | 10,067 | 3,020 | 0 | 0 | 5,000 |
| +45 | 43,003 | 43,003 | 33,003 | 31,460 | 31,460 | 34,983 |
| -45 | 43,003 | 43,003 | 33,003 | -31,460 | -31,460 | 34,983 |
| 90 | 10,067 | 135,906 | 3,020 | 0 | 0 | 5,000 |
Les tests prouvent que 0 deg redonne Q, que 90 deg permute les directions
principales, que +/-45 deg inverse seulement les couplages extension-
cisaillement et que l'energie reste invariante pour plusieurs angles.
Interface et limite volontaire¶
from qf_solver import OrthotropicLamina
ply = OrthotropicLamina(E1=135e9, E2=10e9, nu12=0.3, G12=5e9)
q = ply.reduced_stiffness
qbar = ply.transformed_stiffness(45.0)
Le type JSON orthotropic_lamina est valide par le parseur, mais aucun element
ne l'accepte encore. Cette barriere est intentionnelle : utiliser ce materiau
dans un MITC4 produit un echec de compatibilite maillage tant que A/B/D, les
cisaillements transverses et les resultats par pli ne sont pas verifies.
Reference theorique : REF-COMP-JONES.