BEAM2 - Poutre de Timoshenko 3D¶

Chapitres detailles¶

Correlation externe statique¶

VNV-BEAM2-CODEASTER-POUDE-001 execute Code_Aster 18.1.0 dans l'image Docker epinglee et compare une poutre a section generale identique. Les observables axial UX, torsion RX et flexion UY d'un porte-a-faux elance passent sous 1 %. L'oracle POU_D_E est Euler-Bernoulli : la flexion est donc choisie elancee pour rendre le cisaillement Timoshenko negligeable. Cette preuve ne qualifie ni les poutres epaisses, ni les charges reparties, ni la dynamique.

Perimetre¶

BEAM2 est un element droit a deux noeuds destine aux poutres elastiques isotropes en petites transformations. Chaque noeud porte les six DDL globaux UX, UY, UZ, RX, RY, RZ. La formulation comprend traction, cisaillement transverse, torsion et flexion dans les deux plans locaux.

Cette premiere implementation accepte une section constante par element. Les relachements, offsets, sections variables, plasticite de section et grandes rotations restent hors scope.

Repere local¶

L'axe local e1 va du noeud 1 vers le noeud 2. La direction reference_vector est projetee dans le plan normal a e1 pour construire e2, puis e3 = e1 x e2. Une direction de reference parallele a la poutre est refusee. Sans direction explicite, le solveur choisit un axe global non parallele de maniere deterministe.

La transformation nodale est appliquee de la meme maniere aux translations et aux rotations. La matrice globale est donc obtenue par

[ K_e^{g}=T^{T}K_e^{l}T. ]

Proprietes de section¶

Le materiau beam_isotropic definit E, G ou nu, l'aire A, les moments quadratiques Iy, Iz, la constante de torsion J, la densite et les facteurs de cisaillement kappa_y, kappa_z.

Pour la flexion associee au deplacement local v et a la rotation rz, le parametre de Timoshenko est

[ \phi_y=\frac{12 E I_z}{\kappa_y G A L^2}. ]

Le bloc de rigidite utilise alors le facteur E Iz / (L^3 (1 + phi_y)). Le second plan emploie de la meme facon Iy et kappa_z. Lorsque les termes de cisaillement deviennent tres rigides, la solution tend vers la poutre d'Euler-Bernoulli.

Masse et dynamique¶

La masse coherente n'utilise pas une interpolation lineaire independante des deplacements transverses et des rotations : celle-ci serait incompatible avec le champ de flexion de la rigidite et fausserait les premieres frequences. Pour chaque plan de flexion, QF_solver emploie la matrice de masse Hermite Euler-Bernoulli pour v/rz ou w/ry, puis ajoute l'inertie rotatoire physique Timoshenko rho Iz ou rho Iy des rotations independantes. Les termes axiaux et de torsion utilisent les fonctions lineaires a deux noeuds avec rho A et rho J.

La campagne VNV-BEAM2-MODAL-CODEASTER-POUDE-002 compare les six modes d'un porte-a-faux elance a Code_Aster 18.1.0 POU_D_E. L'ecart maximal observe est 0,0265 %; cette preuve couvre les signes locaux, l'ordre des modes et la masse sur ce cas borne. Elle ne qualifie pas la dynamique de poutres epaisses, la convergence modale multi-elements, l'amortissement, l'inertie repartie ou les assemblages avec liaisons.

La masse concentree reste une entite discrete separee de la feuille de route V1.

Resultats¶

Le post-traitement fournit le repere local, la longueur, les douze DDL locaux, les deformations generalisees et les efforts nodaux locaux dans l'ordre N, Vy, Vz, T, My, Mz. Les efforts nodaux suivent la convention des forces internes elementaires; les deux extremites sont donc opposees a l'equilibre.

Charges lineiques¶

Une charge line_load constante peut etre exprimee dans le repere global ou local. Le vecteur nodal coherent conserve la force et le moment globaux et inclut les couples d'extremite q L^2 / 12 pour les composantes transverses.

Verification initiale¶

Le cas examples/beam2_cantilever.json est un porte-a-faux de longueur 2 m charge par 1000 N. Sa fleche est comparee a

[ v(L)=\frac{P L^3}{3 E I_z}+\frac{P L}{\kappa_y G A}. ]

Les tests couvrent egalement traction, torsion, flexion dans les deux plans, six modes rigides, masse totale, invariance de repere et rejets de geometrie.

References¶

REF-FEM-BATHE pour la formulation variationnelle et l'assemblage.
REF-BEAM-TIMOSHENKO-1921 pour la deformation de cisaillement.

Le statut reste experimental : les correlations statique, modale elancee et Newmark et harmonique axiaux sont acquises. VNV-BEAM2-NEWMARK-CODEASTER-POUDE-003 compare l'histoire complete UX(t) du meme porte-a-faux POU_D_E a Code_Aster 18.1.0 avec beta=0.25, gamma=0.5 et une impulsion lisse; il compare aussi quatre frequences harmoniques complexes hors resonance. Les ecarts RMS normalises sont au niveau de la precision machine. Le cisaillement epais, les charges reparties dynamiques et les assemblages restent a verifier.

Contrat documentaire et demonstration¶

Rubrique exigee	Contenu et preuve
Geometrie et DDL	Segment droit a 2 noeuds, repere local et 6 DDL/noeud.
Formulation mathematique	Timoshenko 3D : traction, torsion, deux flexions et cisaillements.
Integration et algorithme	Matrice locale analytique, transformation globale et assemblage sparse.
Exemple executable	`python .\qf_solver.py solve --input .\examples\beam2_cantilever.json --output .\results\beam2.json`
Maillage	Porte-a-faux a un element puis benchmark multi-elements.
Chargement et conditions limites	Encastrement du noeud 0, force transverse de `1000 N`.
Tableau de resultats	Tableau genere ci-dessous.
Figure de deformee	Geometrie initiale, charge et deformee amplifiee.
Invariants	Six modes rigides, symetrie, masse, invariance de repere et conservation force/moment.
Convergence	Benchmark multi-elements et correlation Code_Aster `POU_D_E`.
Limites	Section constante, petites rotations, pas d'offset ni plasticite.
References	`REF-FEM-BATHE`, `REF-BEAM-TIMOSHENKO-1921`.

--8<-- "docs/generated/assembly_element_results.md"

Deformee BEAM2 generee

Owner review requise avant tout changement de maturite.