Element de coque MITC4¶
Chapitres detailles¶
- Geometrie, ddl et repere local
- Interpolation, Jacobien et points de tying
- Matrices, charges et rotation de drilling
- Derivation complete : cinematique et tying MITC
- Formulation forte, faible et interpolation mixte
- Resultantes, faces et qualite
- Verification, locking et limites
stable - statique lineaire bornee
Cette fiche technique est un document historique detaille. Le mot stable
est un raccourci documentaire; le statut actif 0.2.7 est defini au niveau
combinaison par le registry v2 et les preuves associees.
MITC4 est une facette quadrangulaire a quatre noeuds fondee sur la theorie de Reissner-Mindlin. Chaque noeud porte trois translations et trois rotations.
Cinematique¶
Dans le repere local $(x,y,z)$ de la surface moyenne:
$$ \boldsymbol\varepsilon_m= [u_{,x},v_{,y},u_{,y}+v_{,x}]^T, $$
$$ \boldsymbol\kappa= [r_{y,x},-r_{x,y},r_{y,y}-r_{x,x}]^T, $$
$$ \boldsymbol\gamma_s= [w_{,x}+r_y,w_{,y}-r_x]^T. $$
La rotation de la normale est independante de la pente, ce qui autorise le cisaillement transverse.
Construction de la base locale¶
Les diagonales sont $\mathbf d_1=\mathbf x_3-\mathbf x_1$ et $\mathbf d_2=\mathbf x_4-\mathbf x_2$. La normale vaut:
$$ \mathbf e_3=\frac{\mathbf d_1\times\mathbf d_2} {|\mathbf d_1\times\mathbf d_2|}. $$
Le code cherche ensuite une arete non nulle $\mathbf a$, la projette dans le plan:
$$ \widetilde{\mathbf e}_1=\mathbf a-(\mathbf a\cdot\mathbf e_3)\mathbf e_3, \quad \mathbf e_1=\widetilde{\mathbf e}_1/|\widetilde{\mathbf e}_1|, \quad \mathbf e_2=\mathbf e_3\times\mathbf e_1. $$
La matrice $\mathbf R=[\mathbf e_1^T;\mathbf e_2^T;\mathbf e_3^T]$ transforme translations et rotations. Pour les quatre noeuds: $\mathbf T=\mathbf I_4\otimes\operatorname{diag}(\mathbf R,\mathbf R)$ et $\mathbf K_g=\mathbf T^T\mathbf K_l\mathbf T$.
Interpolation Q4 et Jacobien¶
Sur $[-1,1]^2$:
$$ N_1=\tfrac14(1-\xi)(1-\eta),\quad N_2=\tfrac14(1+\xi)(1-\eta), $$
$$ N_3=\tfrac14(1+\xi)(1+\eta),\quad N_4=\tfrac14(1-\xi)(1+\eta). $$
Le Jacobien plan $\mathbf J=\mathbf D_N^T\mathbf X_{2D}$ doit etre positif aux quatre points $(\pm1/\sqrt3,\pm1/\sqrt3)$. La facette est projetee sur un plan local; le gauchissement est mesure mais pas represente comme une coque courbe.
Membrane et flexion¶
Les matrices $\mathbf B_m$ et $\mathbf B_b$ reproduisent respectivement $\boldsymbol\varepsilon_m$ et $\boldsymbol\kappa$. Elles sont integrees en $2\times2$. Les lois generalisees sont:
$$ \mathbf N=\mathbf A\boldsymbol\varepsilon_m,\qquad \mathbf M=\mathbf D\boldsymbol\kappa, $$
avec $\mathbf A=t\mathbf D_p$ et $\mathbf D=t^3\mathbf D_p/12$.
Interpolation MITC du cisaillement¶
Une interpolation Q4 directe de $w_{,x}+r_y$ et $w_{,y}-r_x$ verrouille les plaques minces. MITC4 echantillonne les composantes covariantes:
| Point | Coordonnees | Composante |
|---|---|---|
| A | $(0,-1)$ | $\xi$ |
| C | $(0,+1)$ | $\xi$ |
| B | $(+1,0)$ | $\eta$ |
| D | $(-1,0)$ | $\eta$ |
$$ \gamma_\alpha=w_{,\alpha}+r_yx_{,\alpha}-r_xy_{,\alpha}. $$
Les valeurs liees sont interpolees par:
$$ g_\xi(\eta)=\tfrac12[(1-\eta)g_A+(1+\eta)g_C],\qquad g_\eta(\xi)=\tfrac12[(1-\xi)g_D+(1+\xi)g_B], $$
puis transformees par $\mathbf J^{-1}$. Cette operation relache les contraintes parasites sans utiliser une integration reduite non controlee.
Rotation de percage¶
$r_z$ ne porte pas d'energie dans la theorie classique. Le code ajoute:
$$ \gamma_d=r_z-\tfrac12(v_{,x}-u_{,y}),\qquad \mathbf K_d=\int_A k_d\mathbf B_d^T\mathbf B_d\,dA, $$
avec $k_d=s_dEt$ et $s_d=10^{-4}$ par defaut. Cette penalisation est numerique; une analyse de sensibilite est requise si $r_z$ influence la reponse.
Rigidite et post-traitement¶
$$ \mathbf K_l=\mathbf K_m+\mathbf K_b+\mathbf K_s+\mathbf K_d. $$
Au centre, $\boldsymbol\varepsilon(z)=\boldsymbol\varepsilon_m+z\boldsymbol \kappa$. Les faces sont $z=\pm t/2$ et la contrainte plane utilise $\mathbf D_p$. Le post-traitement est centre-element et ne constitue pas un champ extrapole complet.
La base locale, la normale et le facteur d'amplification sont reportes avec la deformee.
--8<-- "docs/generated/mitc4_results.md"
Domaine de validite et limites¶
- coque plane isotrope lineaire en statique;
- pas de masse MITC4 dans le solveur generique, donc pas de modal/dynamique;
- pas de grandes rotations ni pression suiveuse;
- sensibilite possible au gauchissement et a la penalisation de percage;
- reduction du shear locking demontree, mais convergence toujours obligatoire.
Tracabilite¶
Code: solveur/elements/shell/mitc4/element.py, adapte par
solveur/elements/shell/mitc4/adapter.py. Les imports mitc4.* restent des
facades de compatibilite pendant la serie 0.2.x.
Verification: tests/verification/test_mitc4_verification.py, Scordelis-Lo,
patchs membrane/cisaillement/flexion et etude de locking. Exigence:
REQ-SOL-002.
| Bloc d'equations | Reference primaire | Code | Preuve | Exigence |
|---|---|---|---|---|
| Cinematique coque et base locale | REF-MITC4-DVORKIN | solveur/elements/shell/mitc4/element.py |
modes rigides, patch membrane | REQ-SOL-002 |
| Tying du cisaillement tensoriel | REF-MITC-BATHE | solveur/elements/shell/mitc4/element.py |
patch cisaillement, locking | REQ-SOL-002 |
| Obstacle course Scordelis-Lo | REF-SHELL-OBSTACLE | mitc4/benchmarks.py |
convergence Scordelis-Lo | REQ-CMP-003 |
Contrat documentaire et demonstration¶
| Rubrique exigee | Contenu et preuve |
|---|---|
| Geometrie et DDL | Facette Q4, repere local, normale orientee et 6 DDL/noeud; geometrie et DDL. |
| Formulation mathematique | Reissner-Mindlin, membrane, flexion, cisaillement MITC et drilling; derivation. |
| Integration et algorithme | Quadrature $2x2$, tying et transformation; matrices et charges. |
| Exemple executable | python .\mitc4_solver.py solve --input .\examples\mitc4_shell_static.json --output .\results\mitc4.json |
| Maillage | Quadrangles plans et coques facettisees dans les limites de qualite documentees. |
| Chargement et conditions limites | Charges nodales, pression, tractions et blocages a 6 DDL. |
| Tableau de resultats | Resultats coques generes. |
| Figure de deformee | Maillage initial et deforme amplifie ci-dessous. |
| Invariants | Modes rigides, symetrie, patchs, equilibre et energies separees. |
| Convergence | Cook, Scordelis-Lo, cylindre pince et shear locking. |
| Limites | Petites transformations, facettes bornees et sensibilite au drilling. |
| References | REF-MITC4-DVORKIN, REF-MITC-BATHE, exigences MITC4. |
Les acceptations existantes restent inchangees. Cette page attend sa propre Owner review documentaire.