Element solide TET10¶
Chapitres detailles¶
- Geometrie, ordre des noeuds et ddl
- Interpolation isoparametrique et Jacobien
- Rigidite, masse et charges
- Derivation complete : interpolation quadratique et quadrature
- Formulation forte, faible et isoparametrique
- Post-traitement et qualite
- Verification et domaine de confiance
experimental
Cette fiche technique est conservee comme reference historique. Le statut actif 0.2.7 de chaque combinaison TET10 est celui du registry v2 et de ses preuves; la presence de cette fiche ne constitue pas une qualification generale.
Le TET10 est un tetraedre isoparametrique quadratique a trente ddl. Les quatre premiers noeuds sont les sommets; les six suivants portent les aretes.
Numerotation locale¶
| Noeud | Position |
|---|---|
| 1 a 4 | Sommets $L_1$ a $L_4$ |
| 5 | Arete 1-2 |
| 6 | Arete 2-3 |
| 7 | Arete 3-1 |
| 8 | Arete 1-4 |
| 9 | Arete 2-4 |
| 10 | Arete 3-4 |
Cette convention fait partie du format d'entree. Une permutation des noeuds milieux change la geometrie et peut inverser le Jacobien.
Fonctions de forme¶
Pour les coordonnees barycentriques $L_i$:
$$ N_i=L_i(2L_i-1),\quad i=1,\ldots,4, $$
$$ N_5=4L_1L_2,\quad N_6=4L_2L_3,\quad N_7=4L_3L_1, $$
$$ N_8=4L_1L_4,\quad N_9=4L_2L_4,\quad N_{10}=4L_3L_4. $$
Elles verifient $\sum_iN_i=1$ et permettent un champ de deplacement quadratique. La geometrie suit la meme interpolation, donc une position de noeud milieu hors de l'arete produit une face courbe.
Jacobien et matrice B¶
En notant $\mathbf D_r=\partial\mathbf N/\partial(r,s,t)$:
$$ \mathbf J=\mathbf D_r^T\mathbf X, \qquad \mathbf D_x=\mathbf D_r\mathbf J^{-T}. $$
Les gradients physiques alimentent la meme construction de $\mathbf B$ que pour TET4, avec dix blocs nodaux. Le determinant varie dans un element courbe. Le code controle l'orientation des quatre coins, tous les points d'integration et un lattice ferme deterministe; ce controle par echantillonnage ne prouve pas la positivite globale du polynome $\det\mathbf J$.
Integration de la rigidite¶
La regle de Hammer utilise quatre permutations de $(a,b,b,b)$ avec
$$ a=\frac{5+3\sqrt{5}}{20},\qquad b=\frac{5-\sqrt{5}}{20},\qquad w=\frac{1}{24}. $$
Cette ecriture exacte evite une accumulation de decimales sans signification physique. Les quatre poids somment au volume $1/6$ du tetraedre de reference.
$$ \mathbf K_e=\sum_{g=1}^4w\,\det(\mathbf J_g) \mathbf B_g^T\mathbf D\mathbf B_g. $$
Quatre etats materiau sont conserves en non-lineaire.
Masse coherente¶
La masse est integree par transformation de Duffy et Gauss-Legendre d'ordre 5, soit 125 points:
$$ \mathbf M_e=\sum_g\rho w_g\det\mathbf J_g [(\mathbf N_g\mathbf N_g^T)\otimes\mathbf I_3]. $$
Cette regle conserve la masse totale et prend en compte un Jacobien variable, au prix d'un cout superieur au TET4.
Recuperation des contraintes¶
Les quatre points de Hammer sont exportes. En elasticite, un champ lineaire est ajuste sur ces points et extrapole aux dix noeuds. Pour un materiau a memoire, les contraintes utilisent les etats committes et les variables internes ne sont pas extrapolees afin d'eviter des valeurs plastiques nodales non physiques.
Les noeuds d'arete sont visibles. La geometrie initiale et la deformee utilisent la meme convention de connectivite.
--8<-- "docs/generated/tet10_results.md"
Domaine de validite et limites¶
- meilleure representation de la flexion et des gradients que TET4;
- faces et aretes courbes possibles;
- controle de Jacobien seulement echantillonne;
- quadrature et recuperation a justifier pour geometries fortement courbes;
- cout de masse important;
- campagne de convergence industrielle encore insuffisante: l'element reste experimental meme si ses tests unitaires passent.
Tracabilite¶
Code: solveur/elements/solid/tet10.py. Tests:
tests/unit/test_tet10_element.py, tests/verification/test_tet10_verification.py.
Exigence: REQ-SOL-003.
| Bloc d'equations | Reference | Code | Preuve | Exigence |
|---|---|---|---|---|
| Fonctions quadratiques et mapping isoparametrique | REF-FEM-BATHE | tet10.py |
partition, patch affine/quadratique | REQ-SOL-003 |
| Quadrature, $B(\xi)$, $K_e$ et $M_e$ | REF-FEM-BATHE | tet10.py |
energie, masse, convergence | REQ-SOL-003 |
| Domaine d'emploi TET10 | REF-SOLID-INDUSTRIAL | documentation | comparaison TET4/TET10 | REQ-CMP-003 |
Contrat documentaire et demonstration¶
| Rubrique exigee | Contenu et preuve |
|---|---|
| Geometrie et DDL | Tetraedre quadratique, 10 noeuds et 30 translations; geometrie et DDL. |
| Formulation mathematique | Fonctions barycentriques quadratiques, Jacobien variable et $B$; derivation. |
| Integration et algorithme | Quadrature tetraedrique et boucle de Gauss; matrices et charges. |
| Exemple executable | python .\qf_solver.py solve --input .\examples\tet10_static.json --output .\results\tet10.json |
| Maillage | Connectivite avec ordre fixe des noeuds medians, geometries droites et courbes bornees. |
| Chargement et conditions limites | Charges nodales, volumiques et pressions coherentes; blocages du JSON. |
| Tableau de resultats | Resultats solides generes. |
| Figure de deformee | Maillage initial et deforme amplifie ci-dessous. |
| Invariants | Symetrie, six modes rigides, patch affine, masse, residu et equilibre. |
| Convergence | Quadrature, patch et structure. |
| Limites | Qualite geometrique, ordre nodal, geometries courbes et cout. |
| References | REF-FEM-BATHE, formules et exigences TET10 tracees. |
Cette page reste experimental et attend une Owner review documentaire.