MITC4 : derivation complete

Le MITC4 implemente une coque Reissner-Mindlin isotrope lineaire. Chaque noeud porte $(u,v,w,r_x,r_y,r_z)$ dans une base locale elementaire. La formulation de cisaillement est mixte afin de limiter le verrouillage des coques minces.

1. Base locale et cinematique

Pour les diagonales $\mathbf d_{13}$ et $\mathbf d_{24}$, la base est

$$ \mathbf e_x=\frac{\mathbf d_{13}}{|\mathbf d_{13}|},\qquad \mathbf e_z=\frac{\mathbf e_x\times\mathbf d_{24}} {|\mathbf e_x\times\mathbf d_{24}|},\qquad \mathbf e_y=\mathbf e_z\times\mathbf e_x. $$

Les ddl globaux sont projetes vers cette base. A travers l'epaisseur $z$, la cinematique Reissner-Mindlin s'ecrit, de maniere schematique,

$$ u(x,y,z)=u_0-zr_y,\quad v(x,y,z)=v_0+zr_x,\quad w(x,y,z)=w_0. $$

Les rotations restent donc independantes de la pente de $w$, ce qui permet le cisaillement transverse, au contraire de Kirchhoff-Love.

2. Interpolation Q4 et resultantes de coque

Les quatre fonctions bilineaires sont

$$ N_i(\xi,\eta)=\frac14(1+\xi_i\xi)(1+\eta_i\eta). $$

Elles interpolent les translations et rotations. Les deformations generalisees sont separees en membrane $\boldsymbol\varepsilon_m$, courbure $\boldsymbol\kappa$ et cisaillement transverse $\boldsymbol\gamma_s$ :

$$ \boldsymbol\varepsilon(z)=\boldsymbol\varepsilon_m+z\boldsymbol\kappa. $$

Sous contrainte plane,

$$ \mathbf D_p=\frac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix}1&\nu&0\\nu&1&0\0&0&(1-\nu)/2\end{bmatrix}, \quad \mathbf A=t\mathbf D_p,\quad \mathbf D_b=\frac{t^3}{12}\mathbf D_p, \quad \mathbf S=\kappa_sGt\mathbf I. $$

3. Tying MITC et rigidite

Une interpolation directe Q4 de $\boldsymbol\gamma_s$ impose des contraintes parasites lorsque $t/L$ devient petit. MITC4 evalue les composantes covariantes aux points A $(0,-1)$, C $(0,1)$ pour $\gamma_\xi$ et B $(1,0)$, D $(-1,0)$ pour $\gamma_\eta$, puis interpole

$$ g_\xi(\eta)=\tfrac12[(1-\eta)g_A+(1+\eta)g_C],\qquad g_\eta(\xi)=\tfrac12[(1-\xi)g_D+(1+\xi)g_B]. $$

La transformation par le Jacobien de surface reconstruit le cisaillement physique. La rigidite locale assemblee est

$$ \mathbf K_l=\int_A\left( \mathbf B_m^T\mathbf A\mathbf B_m+ \mathbf B_b^T\mathbf D_b\mathbf B_b+ \mathbf B_s^T\mathbf S\mathbf B_s+ \mathbf B_d^Tk_d\mathbf B_d\right)dA. $$

L'integration $2\times2$ porte les termes usuels; le terme de drilling $\gamma_d=r_z-\tfrac12(v_{,x}-u_{,y})$ stabilise le ddl $r_z$ avec une faible penalisation $k_d$. Cette penalisation doit faire l'objet d'une sensibilite.

4. Demonstrations de comportement

Le patch membrane isole $\mathbf B_m$, le patch de flexion isole $\mathbf B_b$ et le patch cisaillement verifie le tying $\mathbf B_s$. Les benchmarks Cook, Scordelis-Lo et cylindre pince examinent ensuite deformation, convergence et sensibilite au locking sur des maillages reels. Une bonne reponse unique ne remplace pas l'etude de raffinement.

5. Contraintes aux faces et limites

Les contraintes de membrane-flexion sont calculees aux faces $z=\pm t/2$ par $\mathbf D_p(\varepsilon_m+z\kappa)$. La convention de signe de $z$ suit la normale locale $\mathbf e_z$. Les limites connues incluent le gauchissement, les grandes rotations, la pression suiveuse et la dependance eventuelle a la penalisation de drilling.

Tracabilite

Objet	Code	Preuve	Exigence
Base, cinematique et matrices	solveur/elements/shell/mitc4/element.py	modes rigides et patch membrane	REQ-SOL-002
Tying MITC	solveur/elements/shell/mitc4/element.py	patch cisaillement et locking	REQ-SOL-002
Coques maillees	mitc4/benchmarks.py	Cook, Scordelis-Lo, cylindre pince	REQ-CMP-003

References : REF-MITC4-DVORKIN et REF-MITC-BATHE.