Liaisons MPC et RBE¶

Perimetre V1¶

Les liaisons sont disponibles seulement en linear_static. Elles sont experimental : elles ont des tests analytiques internes, une verification croisee elimination/multiplicateurs de Lagrange et une correlation externe bornee du bras rigide RBE2. Les autres geometries, RBE3 et les analyses hors statique lineaire restent ouverts.

RBE2 et RBE3 sont des noms fonctionnels courants. Ils decrivent ici le comportement implemente par QF_solver, sans pretendre reproduire une syntaxe ou un format proprietaire.

MPC affine¶

Une contrainte multipoint est l'equation :

$$ \sum_i a_i q_i = b. $$

Le premier terme JSON est le DDL dependant. Il definit seulement l'ordre d'elimination ; l'equation complete reste celle affichee ci-dessus. Le solveur construit une transformation affine :

$$ u = u_0 + Tz,\qquad K_r = T^TKT,\qquad f_r = T^T(f-Ku_0), $$

puis resout $K_rz=f_r$. Cette reduction conserve la symetrie de $K_r$ quand $K$ est symetrique. Les cycles, DDL repetes, pivots nuls et contraintes conflictuelles sont refuses avant la resolution.

La formulation a multiplicateurs de Lagrange

$$ \begin{bmatrix}K&C^T\C&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u\lambda\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f\b\end{bmatrix} $$

est conservee comme oracle de verification sur les petits systemes. Elle n'est pas le chemin nominal, car elle transforme le systeme en matrice selle.

RBE2 : bras rigide¶

Pour un noeud esclave $s$, un maitre $m$ et le bras $r=x_s-x_m$, QF_solver impose les trois relations globales :

$$ u_s = u_m + \theta_m \times r. $$

Les rotations du maitre sont donc activees meme si le maitre est raccorde a des solides. L'option tie_rotations: true ajoute seulement $\theta_s=\theta_m$ ; elle est a utiliser lorsque les rotations esclaves ont un sens mecanique, typiquement avec BEAM2 ou MITC4.

RBE3 : distribution par projection rigide¶

Le mode par defaut rigid_body_projection relie les translations des noeuds independants aux six coordonnees generalisees de reference. Avec $r_i=x_i-x_r$, le bloc cinematique au noeud $i$ est :

$$ A_i = \begin{bmatrix} I & -S(r_i) \end{bmatrix}, \qquad u_i=A_iq_r. $$

Le solveur construit la projection ponderee :

$$ H=(A^TWA)^{-1}A^TW,\qquad q_r=H u_I. $$

Les poids sont strictement positifs et les noeuds independants doivent porter les six mouvements rigides. Par travail virtuel, un torseur applique a la reference est redistribue par $f_I=H^Tp$. La resultante et le moment sont donc conserves. Cette liaison ajoute des equations cinematiques, jamais une raideur.

Le mode explicite weighted reste disponible pour un cas scalaire ou 1D :

$$ q_r - \sum_i \frac{w_i}{\sum_j w_j}q_i = 0. $$

Il normalise les poids mais ne garantit pas le moment pour une geometrie 3D; il ne doit pas etre employe comme distributeur spatial de charge.

Reactions et controles¶

Apres la resolution, QF_solver recupere les multiplicateurs par :

$$ K u-f+C^T\lambda=0. $$

L'audit publie les vingt multiplicateurs les plus importants, la compatibilite $\lVert Cu-b\rVert$, la fermeture de l'equilibre en espace complet et les fermetures globales de force et moment. Les reactions legacy sur blocages conservent leur convention historique Ku-f; elles ne doivent pas etre confonduees avec $C^T\lambda$.

JSON¶

{
  "multipoint_constraints": [
    {
      "name": "tie_x",
      "terms": [
        {"node": 4, "dof": "UX", "coefficient": 1.0},
        {"node": 2, "dof": "UX", "coefficient": -1.0}
      ],
      "value": 0.0
    }
  ],
  "rbe2": [{"master": 0, "slaves": [1, 2], "tie_rotations": false}],
  "rbe3": [{
    "mode": "rigid_body_projection",
    "reference": 3,
    "independents": [
      {"node": 4, "weight": 1.0},
      {"node": 5, "weight": 1.0},
      {"node": 6, "weight": 1.0}
    ]
  }]
}

Voir aussi examples/rbe2_rigid_arm.json et tests/unit/test_mpc_reduction.py, tests/unit/test_rbe_links.py.

Correlation externe RBE2¶

VNV-RBE2-CODEASTER-RIGID-ARM-001 compare un bras de longueur 2 m, relie par les six relations cinematques exactes du RBE2 a un maitre ressorti en translation UX. Une force FX = 20 N est appliquee a l'esclave. Le jeu de reference Code_Aster 18.1.0 emploie LIAISON_DDL, pas un format RBE proprietaire :

$$ u_{x,s}-u_{x,m}+2\theta_{z,m}=0, \quad u_{y,s}-u_{y,m}=0, \quad u_{z,s}-u_{z,m}-2\theta_{x,m}=0. $$

Le resultat deplace UX est 0.02 m dans les deux solveurs, avec un ecart relatif mesure de 3.47e-18. La commande reproductible est :

python .\scripts\run_code_aster_rbe_vnv.py

Le rapport et son manifeste sont ecrits dans results/VNV-RBE2-CODEASTER-RIGID-ARM-001. Cette campagne valide la cinematique de transfert en statique. REAC_NODA de Code_Aster ne restitue pas la reaction associee a la liaison duale dans cette configuration : le moment de 40 N.m reste donc verifie en interne par l'audit QF_solver et par la comparaison elimination/multiplicateurs, non par cette colonne externe.

Limites et precautions¶

Les MPC/RBE ne sont pas encore composes avec modal, Newmark, harmonique, non-lineaire ou contact.
Une liaison peut masquer un mecanisme de modele ; le rapport de rang et les warnings de maillage restent a examiner.
Les multiplicateurs sont recuperes pour l'audit statique, mais modal, Newmark, harmonique, non-lineaire et contact ne les composent pas encore.
Aucun RBE ne corrige un maillage insuffisant, une singularite ou un mauvais choix d'element.
La preuve Code_Aster courante ne couvre ni RBE3, ni plusieurs bras, ni les reactions de multiplicateurs, ni les noeuds raccordes a une structure deformable.

Contrat documentaire et demonstration¶

Rubrique exigee	Contenu et preuve
Geometrie et DDL	Maitre, esclaves et bras geometriques; composantes actives explicites.
Formulation mathematique	Contraintes $Cq=d$, cinematique rigide RBE2 et projection RBE3.
Integration et algorithme	Pas de quadrature; elimination affine et controle par multiplicateurs.
Exemple executable	`python .\qf_solver.py solve --input .\examples\rbe2_rigid_arm.json --output .\results\rbe2.json`
Maillage	Bras rigide minimal a trois noeuds.
Chargement et conditions limites	Maitre bloque selon le JSON, charge sur un noeud lie.
Tableau de resultats	Tableau genere ci-dessous.
Figure de deformee	Bras initial, charge et mouvement contraint.
Invariants	Rang, compatibilite, mouvement rigide, resultante et moment transmis.
Convergence	Comparaison elimination/Lagrange et correlation Code_Aster.
Limites	V1 statique lineaire et conflits de contraintes refuses.
References	`REF-FEM-BATHE`, exigences MPC/RBE et preuves Code_Aster.

--8<-- "docs/generated/assembly_element_results.md"

Deformee RBE2 generee

Owner review requise avant tout changement de maturite.