Audit causal de la dynamique MITC3+¶

Champ	Valeur
Identifiant	`DOC-AUDIT-MITC3-DYN-001`
Revision	`0.1`
Date	`2026-08-21`
Objet	Newmark et reponse harmonique du MITC3+ multicouche
Statut	audit technique, protocole V&V corrige, formulation MITC3+ inchangée
Decision de maturite	maintien du perimetre courant jusqu'a nouvelle campagne V&V

1. Question examinee¶

La campagne externe MITC3+ multicouche ne descend pas sous 1 % lorsque le maillage est raffine. Cet audit cherche a determiner si cette limite vient du schema Newmark, du solveur harmonique, de la formulation MITC3+, du maillage, du modele Code_Aster utilise comme reference ou des indicateurs V&V.

Le present travail ne modifie ni la formulation MITC3+, ni les solveurs generiques, ni les criteres de promotion. Il consolide les observations locales, des calculs legers et des references publiees afin de corriger le protocole de campagne V&V.

Le runner de correlation a ensuite ete corrige : la grille temporelle utilise desormais 80 pas par periode par defaut et une reference CLT/Euler independante de la frequence QF_solver. Les erreurs Newmark forcee et libre sont publiees separement. Les anciennes preuves restent archivees et ne sont pas reecrites.

Une execution Code_Aster de controle a ete relancee avec ce protocole corrige sur le maillage de reference 12x3 (72 triangles). Elle est archivee dans qualification/vnv/external/code_aster_mitc3_laminate_dynamic/reference/.

2. Conclusion executive¶

Oui, une preuve MITC3+ Newmark et harmonique sous 1 % est techniquement atteignable. Les resultats locaux montrent deja :

0.0415 % d'erreur sur la premiere frequence face a une reference analytique CLT/Euler-Bernoulli ;
0.897 % d'ecart modal maximal MITC3+/MITC4 sur quatre modes ;
0.0407 % d'ecart Newmark MITC3+/MITC4 sur un historique commun ;
0.0186 % d'ecart harmonique MITC3+/MITC4 en RMS complexe ;
0.262 % d'erreur temporelle Newmark interne avec 80 pas par periode ;
moins de 1e-8 d'erreur harmonique interne face a la superposition modale.

En revanche, raffiner uniquement le maillage ne peut pas faire passer la campagne Code_Aster DST actuelle sous 1 %. Entre 8x2 et 64x16, les ecarts Newmark et harmoniques augmentent. Les deux codes convergent vers des operateurs discrets differents : MITC3+ dans QF_solver, DST dans Code_Aster, avec des interpolations et des matrices de masse non identiques.

Le protocole corrige abaisse nettement les indicateurs sur le cas 12x3 :

Controle corrige	Valeur	Ancienne valeur archivee
Frequences modales, maximum	`3.957 %`	`3.957 %`
Newmark, RMS complet	`2.323 %`	`2.318 %`
Newmark, RMS force	`0.289 %`	non separe
Newmark, RMS libre	`2.677 %`	non separe
Harmonique, RMS complexe	`1.341 %`	`1.345 %`

La correction confirme qu'un pas temporel et une grille de frequences mal calibres ajoutaient un biais de protocole, mais elle ne suffit pas a faire passer les trois observables sous 1 %. La formulation n'est donc pas declaree corrigee sur la seule base de cette relance.

Le probleme principal n'est donc pas une incapacite du MITC3+ a traiter la dynamique, ni un pas temporel insuffisant sur le cas controle. Il s'agit d'un probleme de hierarchie des references et de metrique V&V, auquel s'ajoute une difference d'operateurs spatiaux et de masse entre MITC3+ et DST.

3. Campagne de raffinement existante¶

Maillage quadrilateral equivalent	Triangles	Ecart modal	Ecart Newmark RMS	Ecart harmonique RMS
`8x2`	32	7.5201 %	1.7119 %	0.9406 %
`12x3`	72	3.9573 %	2.3179 %	1.3449 %
`16x4`	128	2.5016 %	3.4004 %	1.9957 %
`24x6`	288	1.7784 %	5.5578 %	3.2746 %
`32x8`	512	2.0355 %	7.2337 %	4.2565 %
`48x12`	1152	2.4476 %	9.3150 %	5.4589 %
`64x16`	2048	2.6867 %	10.4121 %	6.0831 %

Les resultats sont archives dans :

qualification/vnv/external/code_aster_mitc3_laminate_dynamic_refinement_037/

Une erreur de discretisation classique doit, a formulation et reference compatibles, decroitre vers une asymptote. Ici l'ecart modal atteint un minimum puis remonte, tandis que Newmark et l'harmonique se degradent. Cette signature exclut une correction par simple augmentation du nombre d'elements. Elle indique des limites discretes differentes et une accumulation de phase.

4. Audit des solveurs¶

4.1 Newmark¶

Le solveur src/solveur/core/dynamic.py emploie le schema implicite de Newmark avec beta=0.25 et gamma=0.5. Les tests cibles de conservation d'energie, residu, valeurs finies et solution modale passent.

Pas par periode	Erreur temporelle interne
20	4.1620 %
40	1.0476 %
80	0.2623 %

La campagne externe utilise 40 pas par periode. Ce choix convient a un seuil engineering de 5 %, mais pas a une preuve dure de 1 %. Une nouvelle preuve devra utiliser au moins 80 pas par periode, puis 160 et 320 pour etablir la convergence temporelle.

Verdict : algorithme Newmark non mis en cause ; parametrage V&V insuffisant pour garantir 1 %.

Une campagne dediee a ensuite ete executee avec le meme modele MITC3+ et 80, 160 puis 320 pas par periode. Elle est archivee dans qualification/vnv/mitc3_laminate_temporal_refinement_2026-08-21/.

Pas par periode	Pas de temps (s)	Erreur RMS interne
80	`8.970e-4`	`0.2623 %`
160	`4.485e-4`	`0.0656 %`
320	`2.243e-4`	`0.0164 %`

La decroissance est monotone et l'erreur fine est inferieure a 1 %. Cela ferme la question de la discretisation temporelle pour ce cas interne. Cela ne ferme pas la correlation externe : l'ecart restant avec Code_Aster DST vient principalement des operateurs K/M et de la derive de phase entre frequences propres differentes.

Une verification externe complementaire a ete executee sur le maillage fixe 12x3, avec Code_Aster relance a 80, 160 et 320 pas par periode :

Pas par periode	Ecart modal	Ecart Newmark RMS	Ecart harmonique
80	`3,9573 %`	`2,3231 %`	`1,3410 %`
160	`3,9573 %`	`2,3243 %`	`1,3410 %`
320	`3,9573 %`	`2,3247 %`	`1,3410 %`

L'ecart Newmark varie de seulement 0,00155 % entre les trois niveaux et l'ecart harmonique est invariant a l'affichage numerique pres. Cette preuve externe confirme que raffiner dt ne suffit pas : la cause dominante est la difference entre les matrices K/M et les interpolations MITC3+/DST. Le gate stable reste donc BLOQUE et cette campagne est classee comme diagnostic, pas comme resultat de promotion.

Les artefacts sont archives dans qualification/vnv/external/code_aster_mitc3_laminate_dynamic_temporal_refinement_2026-08-21/reference/.

4.2 Harmonique¶

Le solveur src/solveur/core/harmonic.py resout directement :

(K + i*omega*C - omega^2*M) u = f.

Les controles locaux donnent :

limite statique a 0 Hz : erreur relative 7.48e-14 ;
residu harmonique maximal : 5.40e-11 ;
accord avec superposition modale interne : environ 6.3e-9.

Verdict : solveur harmonique non mis en cause. L'ecart externe vient de la difference des operateurs K/M et de la position des excitations par rapport aux poles modaux.

5. Audit de la formulation MITC3+¶

5.1 Conformite observee¶

Le module src/solveur/elements/shell/mitc3.py contient les caracteristiques majeures de la formulation MITC3+ publiee :

rotations enrichies par une bulle cubique ;
distance de tying d=1e-4 ;
cisaillement transverse suppose MITC ;
integration triangulaire a sept points ;
condensation statique des deux rotations internes ;
separation membrane, flexion, cisaillement et drilling.

Les tests unitaires verifient la symetrie, les six modes rigides, les mouvements rigides, la condensation stationnaire, la masse totale, la positivite semi-definie et l'invariance en energie de la rigidite sous rotation.

La publication modale MITC3+ etudie explicitement une masse coherente et montre de bonnes convergences sur plaque libre et hyperboloide. La dynamique modale n'est donc pas une extrapolation interdite par la formulation.

5.2 Point restant sur la masse condensee¶

QF_solver construit une masse coherente avec interpolation lineaire des translations, interpolation enrichie des rotations, inerties surfacique et rotatoire, puis la projette avec la transformation de condensation deduite de la rigidite.

Les controles donnent :

masse translationnelle totale : 3.1 kg, exactement la masse analytique ;
symetrie relative : environ 1.2e-21 ;
positivite semi-definie verifiee ;
aucune inertie artificielle sur la rotation de drilling nodale.

Ces invariants sont sains. Une verification elementaire independante a ensuite recalcule la masse avec une quadrature Duffy tensorielle de Gauss-Legendre d'ordre 12 :

Controle	Valeur
Difference masse developpee	`1,1783e-7`
Difference masse condensee	`1,1803e-5`
Erreur bilan translationnel	`1,8623e-15`
Valeur minimale propre condensee	`0`
Bloc drilling nodal	`0`

La masse condensee est donc coherente avec l'integration independante dans la limite du schema de quadrature utilise, et la difference mesuree est tres inferieure aux ecarts externes de 1,3 % a 4,0 %. Cette preuve exclut la quadrature de masse comme cause dominante, mais ne compare pas encore la formulation MITC3+ a un element externe de meme ordre.

5.3 Audit algébrique de la condensation K/M¶

Une seconde campagne elementaire a compare directement les matrices developpees 20x20 et les matrices publiques 18x18 :

Controle	Valeur	Limite
Projection de `K` par `T.T @ K @ T`	`1,1058e-18`	`1e-12`
Additivite des composantes de `K`	`0`	`1e-12`
Projection de `M` par `T.T @ M @ T`	`0`	`1e-12`
Residu de stationnarite interne	`1,1303e-19`	`1e-10`

Le verdict est PASS_ALGEBRAIC_CONDENSATION. Cette preuve ferme la coherence de la chaine logicielle K/M -> condensation -> matrices publiques, mais elle ne vaut pas une implementation independante de la formulation MITC3 et ne ferme donc pas la correlation externe DST. Le rapport complet est archive dans qualification/vnv/mitc3_matrix_condensation_audit_2026-08-21/.

5.4 Audit indépendant de quadrature de rigidité¶

La même vérification a été appliquée à la rigidité K avec une intégration Duffy Gauss-Legendre d'ordre 12, indépendante de la règle Dunavant à sept points utilisée par l'élément :

Contrôle	Valeur	Limite
`K` développé total	`1,9817e-15`	`2e-7`
Maximum par composante	`4,2790e-15`	`2e-7`
`K` condensé	`1,9831e-15`	`2e-7`
Symétrie développée et indépendante	`0`	`1e-14`

Le verdict PASS_INDEPENDENT_QUADRATURE écarte donc une erreur dominante de quadrature de rigidité sur le triangle testé. Comme pour la masse, les opérateurs de déformation MITC3+ et les lois constitutives sont réutilisés par les deux intégrations : cette preuve ne constitue pas une formulation shell indépendante et ne ferme pas la corrélation DST. Le dossier est archivé dans qualification/vnv/mitc3_stiffness_quadrature_audit_2026-08-21/.

Un audit complémentaire MITC3-LAM-DYN-C12 compare la chaîne constitutive à une quadrature Gauss-Legendre indépendante dans l'épaisseur. Les matrices A/B/D, la masse surfacique, l'inertie de rotation et l'orientation projetée passent les contrôles à 1e-12, avec 1e-9 absolu pour le couplage B nul par annulation symétrique. Le verdict est PASS_INDEPENDENT_ABD. Cette preuve écarte une incohérence démontrée dans la construction du stratifié, mais ne crée pas une formulation shell externe MITC3+ de comparaison. Le dossier est dans qualification/vnv/mitc3_laminate_abd_audit_2026-08-21/.

Verdict formulation : aucune anomalie de masse ou de condensation demontree. La formulation MITC3+ reste ouverte pour une comparaison externe de meme ordre avant promotion stable. La preuve est archivee dans qualification/vnv/mitc3_mass_quadrature_audit_2026-08-21/.

6. Limite de l'oracle Code_Aster DST¶

La documentation officielle Code_Aster indique que les familles DKT/DST emploient en dynamique une matrice de masse amelioree fondee sur une interpolation cubique du deplacement transverse. QF_solver MITC3+ utilise une autre interpolation et une autre condensation interne.

Les modeles partagent le maillage geometrique, le materiau, l'empilement, les conditions limites, les charges et les instants. Ils ne partagent pas exactement l'operateur de flexion, l'operateur de cisaillement, la construction de masse ni les degres internes. Un meme maillage ne produit donc pas la meme approximation numerique.

Code_Aster DST est une triangulation externe utile, mais ne doit pas etre l'unique reference primaire d'un critere de 1 % au meme maillage.

Pour distinguer la dependance au modele de coque, une campagne Code_Aster DKT a ete executee sur le meme stratifie plan mince, avec trois maillages :

Maillage	Ecart modal	Ecart Newmark	Ecart harmonique
`12x3`	`3,1228 %`	`0,2027 %`	`0,0862 %`
`16x4`	`1,3705 %`	`0,0813 %`	`0,0168 %`
`24x6`	`0,3940 %`	`0,1968 %`	`0,0880 %`

Le dernier niveau est sous 1 % pour les trois observables, avec des residus QF_solver inferieurs a 1,1e-8 en modal et 5,2e-11 en dynamique. Cette preuve ouvre un sous-perimetre potentiellement stable : stratifies plans, minces, symetriques, petits deplacements, sans dommage ni delamination. Elle ne permet pas de promouvoir le scope DST general : DKT est une reference de limite mince differente et les niveaux intermediaires sont conserves dans le rapport.

Les artefacts DKT sont archives dans qualification/vnv/external/code_aster_mitc3_laminate_dynamic_refinement_dkt_2026-08-21/reference/.

Une reserve documentaire demeure : la campagne execute Code_Aster 18.1 alors que les manuels analyses sont anterieurs. La prochaine campagne doit tracer le manuel ou le code source correspondant exactement a la version executee et confirmer le chemin MASS_MECA.

7. Reference analytique independante¶

Pour le cantilever [0/90/90/0], la theorie classique des stratifies donne, en N.m :

D = [[9625.1591,  211.1460,    0.0000],
     [ 211.1460, 2021.3881,    0.0000],
     [   0.0000,    0.0000,  416.6667]]

La rigidite equivalente est :

D_eff = D11 - D12^2 / D22 = 9603.1036 N.m.

Avec une masse surfacique de 15.5 kg/m2, la premiere frequence analytique vaut 13.928708 Hz.

Resultat fin `64x16`	Frequence	Ecart analytique
QF_solver MITC3+	13.922925 Hz	0.0415 %
Code_Aster DST	13.576242 Hz	2.5305 %

La compliance statique analytique sous 1 N vaut 1.735550e-4 m. Le deplacement moyen de bord QF_solver vaut 1.736250e-4 m, soit environ 0.0404 % d'ecart.

Cette preuve ne qualifie pas toutes les coques multicouches. Elle montre que, pour la flexion de cette geometrie, QF_solver est plus proche de la theorie que le DST utilise comme comparaison.

8. Origine de l'ecart Newmark¶

Au maillage 64x16 :

RMS brut complet : 10.4121 % ;
RMS pendant les 20 echantillons forces : 1.4098 % ;
RMS pendant la vibration libre : 11.9954 % ;
meilleur recalage retard/amplitude : 4.7883 % ;
ecart de premiere frequence QF/DST : 2.5536 % ;
derive de phase estimee : 0.313 rad, soit 17.9 deg.

La metrique RMS brute compare les signaux echantillon par echantillon. Une petite difference de frequence propre accumule une difference de phase. La norme augmente alors meme si chaque integrateur calcule correctement son propre modele semi-discret.

La prochaine preuve doit separer amplitude, periode, phase, phase forcee, vibration libre, energie, residu et erreur propre au pas de temps.

9. Origine de l'ecart harmonique¶

Les frequences externes sont 0.1, 0.25, 0.5 et 0.75 fois la premiere frequence QF_solver. La grille depend donc d'un solveur. A 0.75 f1, une petite difference de pole modal genere deja une difference d'amplitude, surtout sans amortissement.

Sur une grille absolue commune, QF_solver MITC3+/MITC4 ne differe que de 0.0186 % en RMS complexe. L'ecart QF/DST de 6.08 % est donc compatible avec la difference de K/M, et non avec une mauvaise resolution harmonique.

10. Classement causal¶

Hypothese	Verdict	Confiance	Justification
Maillage seul insuffisant	Rejete comme cause unique	Haute	L'ecart augmente de `8x2` a `64x16`.
Defaut Newmark	Rejete	Haute	Convergence temporelle et energie internes.
Defaut harmonique	Rejete	Haute	Limite statique, residu et superposition passent.
Solveur lineaire non converge	Rejete	Haute	Residus faibles et solutions finies.
Drilling	Rejete	Haute	Variation de `1e-8` a `1` sans effet significatif.
Facteur de cisaillement	Secondaire negligeable	Haute	`0.5` a `1.0` change `f1` d'environ `0.06 %`.
Mauvaise masse totale	Rejete	Haute	Masse assemblee exactement `3.1 kg`.
Difference MITC3+/DST	Cause principale	Haute	Frequences limites et masses distinctes.
RMS Newmark sensible a la phase	Cause principale	Haute	Derive mesuree de `17.9 deg`.
Grille harmonique liee a QF	Cause aggravante	Haute	Frequences proches du pole QF.
Masse MITC3+ condensee erronee	Non demontre	Moyenne	Invariants sains, matrice de reference absente.

11. Verification croisee MITC3+ / MITC4¶

Sur le meme modele et le maillage 24x6 :

Mode	MITC3+	MITC4	Ecart
1	13.924530 Hz	13.925839 Hz	0.0094 %
2	52.636555 Hz	52.340038 Hz	0.5665 %
3	87.156430 Hz	87.238062 Hz	0.0936 %
4	175.796166 Hz	174.233729 Hz	0.8967 %

Avec une grille physique absolue et 80 pas par periode :

Newmark, RMS normalise : 0.0407 % ;
harmonique, RMS complexe : 0.0186 %.

Cette comparaison confirme la capacite dynamique du MITC3+. Elle reste une preuve secondaire car les deux elements partagent l'infrastructure QF_solver.

12. Roadmap apres correction du protocole¶

A. Figer le diagnostic actuel¶

Archiver 8x2 a 64x16 comme preuve que le raffinement seul ne ferme pas l'ecart.
Classer Code_Aster DST comme reference externe secondaire.
Conserver la maturite actuelle ; aucune promotion automatique.

B. Verifier les operateurs elementaires¶

Exporter K et M MITC3+ completes 20x20 et condensees 18x18.
Recalculer independamment chaque bloc d'integration.
Ajouter invariance de masse sous rotation, inertie rotatoire, positivite et modes rigides.
Comparer la condensation de masse a une implementation independante.

Critere : ecart coefficient ou energie inferieur a 1e-10 sur les cas analytiques.

C. Reproduire les benchmarks modaux MITC3+ publies¶

Reproduire la plaque carree libre et l'hyperboloide libre de la publication de 2015.
Utiliser N=5,10,15,20, d=1e-4, plusieurs rapports d'epaisseur, maillages reguliers et distordus.
Comparer frequences, modes rigides, MAC et ordres de convergence.

Critere : erreurs primaires inferieures a 1 %.

D. Etablir les references analytiques CLT¶

Couvrir au moins trois empilements, trois geometries ou elancements, et deux familles de chargement.
Comparer compliance, frequences, resultantes N/M/Q et energies.
Utiliser Richardson lorsque le regime asymptotique est observable.

Critere : dernier maillage et extrapolation sous 1 %.

E. Refaire Newmark¶

Utiliser 80, 160 et 320 pas par periode.
Comparer chaque solveur a sa solution modale propre.
Fixer un temps physique et une charge absolus pour la correlation externe.
Publier amplitude, periode, phase, RMS forcee, RMS libre, energie et residu.

Critere : chaque erreur engineering primaire sous 1 %.

F. Refaire l'harmonique¶

Verifier la limite statique a 0 Hz.
Employer une grille absolue commune en Hz.
Comparer receptance complexe, amplitude et phase.
Ajouter un cas amorti autour de la resonance.
Utiliser la superposition modale analytique/CLT comme reference primaire.

Critere : moins de 1 % hors voisinage de pole explicitement defini.

G. Repositionner Code_Aster¶

Confirmer la formulation et MASS_MECA de Code_Aster 18.1.
Comparer les limites extrapolees h -> 0, pas seulement le meme maillage.
Ajouter une reference coque d'ordre superieur ou solide 3D convergee.
N'exiger l'identite sous 1 % avec DST que si l'equivalence des operateurs est etablie.

H. Gate de promotion stable¶

La promotion exige simultanement :

toutes les erreurs engineering primaires inferieures ou egales a 1 % ;
au moins trois niveaux spatiaux et trois niveaux temporels ;
plusieurs geometries, empilements et chargements ;
references analytiques ou publiees primaires ;
correlation externe reproductible comme preuve complementaire ;
matrices, residus, energies, figures et manifestes archives ;
Owner Review apres revue des resultats.

13. Decision recommandee¶

Ne pas modifier MITC3+ sur la seule base de l'ecart DST.
Ne pas lancer un maillage plus gros avec le protocole actuel.
Conserver le scope actuel sans promotion stable.
Refaire la hierarchie V&V : publication MITC3+, analytique CLT, convergence propre, puis Code_Aster en preuve secondaire.
Employer au moins 80 pas par periode pour la future preuve Newmark sous 1 %.

14. References¶

Jeon, Lee et Bathe, The MITC3+ shell element and its performance, 2014, https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2014.02.005.
Jeon, Lee et Bathe, The modal behavior of the MITC3+ triangular shell element, 2015, https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2015.02.033.
MIT, copies auteurs des publications MITC, https://web.mit.edu/kjb/www/Principal_Publications/.
Code_Aster, formulation DKT/DST, https://www.code-aster.org/V2/doc/v12/en/man_r/r3/r3.07.03.pdf.
Code_Aster, commande DYNA_VIBRA, https://www.code-aster.org/V2/doc/v14/en/man_u/u4/u4.53.03.pdf.
Newmark, A Method of Computation for Structural Dynamics, 1959, https://doi.org/10.1061/JMCEA3.0000098.

15. Verification executee¶

python -m pytest `
  tests\verification\test_mitc3_laminate_dynamic_vnv.py `
  tests\unit\test_analysis_features.py::test_transient_dynamic_newmark_conserves_energy_without_damping `
  tests\unit\test_analysis_features.py::test_harmonic_response_zero_frequency_matches_static_solution `
  -q

Resultat : 9 passed pour le lot cible, puis campagne Code_Aster PASS_EXTERNAL_CORRELATION avec les valeurs corrigees reportees ci-dessus.

Des diagnostics legers ont ensuite mesure le drilling, le facteur de cisaillement, la masse, la reference CLT et la correlation MITC3+/MITC4. Le code de formulation MITC3+ n'a pas ete modifie ; seul le runner de V&V et ses tests de protocole ont ete ajustes.