MITC3+ - Formulation forte et faible

Cinematique de Reissner-Mindlin

Dans le repere de facette,

$$ \mathbf u(x,y,z)= \begin{bmatrix} u_0+z\theta_y\ v_0-z\theta_x\ w_0 \end{bmatrix}. $$

Les normales restent droites mais peuvent tourner par rapport a la surface moyenne. Les deformations generalisees sont

$$ \boldsymbol\varepsilon_m= [u_{0,x},v_{0,y},u_{0,y}+v_{0,x}]^T, $$

$$ \boldsymbol\kappa= [\theta_{y,x},-\theta_{x,y},\theta_{y,y}-\theta_{x,x}]^T, $$

$$ \boldsymbol\gamma_s= [w_{0,x}+\theta_y,w_{0,y}-\theta_x]^T. $$

Equations fortes

Sur une facette sans inertie, les resultantes verifient

$$ \nabla_s\cdot\mathbf N+\mathbf p_t=\mathbf0,\qquad \nabla_s\cdot\mathbf Q+p_n=0, $$

$$ \nabla_s\cdot\mathbf M-\mathbf Q+\mathbf m=\mathbf0. $$

Les conditions naturelles prescrivent les efforts conjugues aux translations et rotations. Les conditions essentielles prescrivent les DDL nodaux.

Travail virtuel

La formulation faible recherche $\mathbf q$ telle que

$$ \delta W_{\mathrm{int}}(\mathbf q,\delta\mathbf q) =\delta W_{\mathrm{ext}}(\delta\mathbf q) \quad\forall\delta\mathbf q\in\mathcal V_0, $$

avec

$$ \delta W_{\mathrm{int}}= \int_A\left( \delta\boldsymbol\varepsilon_m^T\mathbf N+ \delta\boldsymbol\kappa^T\mathbf M+ \delta\boldsymbol\gamma_s^T\mathbf Q \right)dA. $$

Pour un isotrope:

$$ \mathbf N=\mathbf A\boldsymbol\varepsilon_m,\quad \mathbf M=\mathbf D\boldsymbol\kappa,\quad \mathbf Q=\mathbf A_s\boldsymbol\gamma_s. $$

Pour un stratifie:

$$ \begin{bmatrix}\mathbf N\\mathbf M\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mathbf A&\mathbf B\\mathbf B&\mathbf D\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\boldsymbol\varepsilon_m\\boldsymbol\kappa\end{bmatrix}. $$

L'interpolation MITC intervient uniquement dans l'operateur de cisaillement; les termes de membrane et de flexion proviennent des derives des fonctions P1 et enrichies.

Dynamique

La forme semi-discrete est

$$ \mathbf M\ddot{\mathbf q}+\mathbf C\dot{\mathbf q} +\mathbf K\mathbf q=\mathbf f(t). $$

Le modal resout $\mathbf K\boldsymbol\phi=\omega^2\mathbf M\boldsymbol\phi$. Newmark et l'harmonique reutilisent exactement les matrices condensees documentees dans la page suivante.