TET4 - Matrices elementaires et charges

Matrice deformation-deplacement

Avec $N_{i,x}=b_i$, $N_{i,y}=c_i$, $N_{i,z}=d_i$, le bloc nodal est

$$ \mathbf B_i= \begin{bmatrix} b_i&0&0\0&c_i&0\0&0&d_i\ c_i&b_i&0\0&d_i&c_i\d_i&0&b_i \end{bmatrix}. $$

L'ordre de Voigt est $(\varepsilon_{xx},\varepsilon_{yy},\varepsilon_{zz},\gamma_{xy}, \gamma_{yz},\gamma_{xz})$; les cisaillements sont des deformations ingenieur.

Rigidite

Pour l'elasticite isotrope lineaire,

$$ \mathbf K_e=V\mathbf B^T\mathbf D\mathbf B. $$

L'integration a un point est exacte puisque $\mathbf B$ et $\mathbf D$ sont constants. La matrice est symetrisee numeriquement par $(\mathbf K_e+\mathbf K_e^T)/2$.

Masse coherente

La masse utilise

$$ \mathbf M_e=\frac{\rho V}{20} \begin{bmatrix} 2\mathbf I&\mathbf I&\mathbf I&\mathbf I\ \mathbf I&2\mathbf I&\mathbf I&\mathbf I\ \mathbf I&\mathbf I&2\mathbf I&\mathbf I\ \mathbf I&\mathbf I&\mathbf I&2\mathbf I \end{bmatrix}. $$

Sa somme vaut $3\rho V$ car chaque direction de translation porte la masse totale.

Charges de volume

Une densite de force constante $\mathbf b$ produit $\mathbf f_i=V\mathbf b/4$. Pour la gravite, $\mathbf b=\rho\mathbf g$ et une densite strictement positive est requise.

Le controle d'assemblage ne se limite pas a la valeur appliquee au noeud. Il verifie que la somme des contributions elementaires restitue la force totale attendue et que le moment resultant autour de l'origine correspond a $\sum_i \mathbf x_i\times\mathbf f_i$. Ce controle detecte les erreurs de repere, d'unite, de signe ou de face avant la resolution.

Tractions et pression

Sur une face triangulaire plane de normale sortante $\mathbf n$,

$$ \mathbf f_e^\Gamma=\int_\Gamma\mathbf N^T\mathbf t\,d\Gamma. $$

Une pression positive est compressive: $\mathbf t=-p\mathbf n$. L'integrateur calcule aussi resultante et moment autour de l'origine pour auditer les signes et les unites.

Pour chaque chargement distribue, le rapport indique donc: type de charge, support geometrique, repere, unite attendue, force resultante, moment resultant et ecart de conservation. Une pression ou traction est refusee si la face n'appartient pas a l'element; une orientation invalide est une erreur de maillage, pas une correction automatique.

Code: solveur/loads/integration.py, solveur/core/assembler.py.