Hypotheses et travaux virtuels

Hypotheses communes

Le perimetre lineaire suppose une geometrie de reference fixe, de petites deformations, des lois constitutives locales et un chargement quasi-statique ou dynamique lineaire. Les equations sont exprimees en SI dans le perimetre qualifiable.

Pour un solide elastique de domaine $\Omega$, le principe des travaux virtuels s'ecrit:

$$ \int_\Omega \delta\boldsymbol\varepsilon^T\boldsymbol\sigma\,d\Omega =\int_\Omega \delta\mathbf u^T\mathbf b\,d\Omega +\int_{\Gamma_t}\delta\mathbf u^T\bar{\mathbf t}\,d\Gamma +\delta\mathbf u^T\mathbf f_n. $$

Avec $\mathbf u\simeq\mathbf N\mathbf q$, $\delta\boldsymbol\varepsilon =\mathbf B\delta\mathbf q$ et $\boldsymbol\sigma=\mathbf D\mathbf B\mathbf q$:

$$ \mathbf K_e=\int_{\Omega_e}\mathbf B^T\mathbf D\mathbf B\,d\Omega, \qquad \mathbf f_e=\int_{\Omega_e}\mathbf N^T\mathbf b\,d\Omega +\int_{\Gamma_e}\mathbf N^T\bar{\mathbf t}\,d\Gamma. $$

Cette equation explique pourquoi les charges reparties doivent etre integrees avec les memes fonctions de forme que le deplacement: elles sont energetiquement coherentes, pas simplement partagees entre noeuds.

Dynamique

Le probleme semi-discret devient:

$$ \mathbf M\ddot{\mathbf u}+\mathbf C\dot{\mathbf u} +\mathbf K\mathbf u=\mathbf f(t). $$

La matrice de masse est coherente par defaut. L'amortissement disponible est de Rayleigh, $\mathbf C=\alpha\mathbf M+\beta_R\mathbf K$; il doit etre identifie sur une plage de frequences et non choisi pour stabiliser artificiellement une reponse.

Non-lineaire

Le residu est $\mathbf r(\mathbf u)=\mathbf f_{ext}-\mathbf f_{int}(\mathbf u)$. La resolution cherche $\mathbf r=\mathbf0$ avec une tangente materielle. Les formulations disponibles restent en petits deplacements; elles ne representent pas une non-linearite geometrique generale.