TET4 total lagrangien

research

Cette page fige la formulation choisie pour commencer la non-linearite geometrique. Le noyau reste separe du TET4 petites deformations et n'est pas encore expose dans l'API de resolution.

Configuration et mesures

Les coordonnees de reference sont notees $\mathbf X$ et les coordonnees courantes $\mathbf x=\mathbf X+\mathbf u$. Le gradient de deformation est

$$ \mathbf F=\frac{\partial\mathbf x}{\partial\mathbf X} =\mathbf I+\sum_a \mathbf u_a\otimes\nabla_X N_a. $$

La deformation de Green-Lagrange et la contrainte de Piola-Kirchhoff 2 sont

$$ \mathbf E=\frac12(\mathbf F^T\mathbf F-\mathbf I),\qquad \mathbf S=\lambda\,\mathrm{tr}(\mathbf E)\mathbf I+2\mu\mathbf E. $$

La loi Saint-Venant-Kirchhoff est hyperelastique et objective, mais elle n'est pas adaptee aux tres grandes deformations de nombreux materiaux reels. Elle est retenue comme formulation de verification des grandes rotations et de la tangente, pas comme loi universelle.

Force interne et tangente

Avec $\mathbf P=\mathbf F\mathbf S$ et le volume de reference $V_0$,

$$ \mathbf f_a^{int}=V_0\,\mathbf P\nabla_XN_a. $$

La tangente consistante utilise

$$ \frac{\partial P_{iJ}}{\partial F_{kL}} =\delta_{ik}S_{LJ}+F_{iI}\,\mathbb C_{IJKL}\,F_{kK}. $$

Le premier terme est geometrique; le second est materiel. Cette separation est verifiee par differences finies sur un etat combinant extension et cisaillement.

Premiers controles automatiques

• tangente a l'origine identique au TET4 lineaire;
• rotation rigide de 73 deg sans force interne ni energie;
• extension homogene finie comparee a l'energie analytique;
• tangente consistante comparee par differences finies;
• rejet d'une configuration courante inversee.

Assemblage vectorise

La geometrie de reference est immuable en formulation totale lagrangienne. Les volumes $V_0$, gradients $\nabla_XN_a$, indices de DDL et indices creux sont donc calcules une seule fois. Pour tous les elements, QF_solver evalue ensuite par lots :

$$ F_{iJ}^{(e)}=\delta_{iJ}+\sum_a u_{ai}^{(e)}N_{a,J}^{(e)}, \qquad f_{ai}^{(e)}=V_0^{(e)}P_{iJ}^{(e)}N_{a,J}^{(e)}. $$

La tangente locale reste exactement la tangente consistante du noyau scalaire. Des tests comparent force, energie et matrice assemblee entre les deux chemins.

Campagne multi-elements

VNV-TET4-TL-ASSEMBLY-002 couvre six maillages de 192 a 24 000 TET4. Patch affine, rotation rigide, residu Newton et positivite de det(F) passent. La variation de fleche finale vaut 3,81 % et l'ecart a l'elastica d'Euler 6,91 %. Le resultat assemble devient PASS_ASSEMBLY.

L'elastica utilise une poutre inextensible d'Euler-Bernoulli sous charge morte. Elle ne represente ni le cisaillement transverse, ni les effets locaux 3D de l'encastrement et du chargement.

Reference elastica

Avec $\theta(s)$ la rotation de la fibre moyenne, $P$ la charge verticale morte et $EI$ la rigidite de flexion, l'oracle resout

$$ \theta''(s)=\frac{P}{EI}\cos\theta(s),\qquad \theta(0)=0,\qquad \theta'(L)=0. $$

La geometrie deformee est reconstruite par

$$ x'(s)=\cos\theta(s),\qquad z'(s)=\sin\theta(s),qquad x(0)=z(0)=0. $$

Le probleme aux limites est resolu independamment du maillage TET4. A faible charge, il retrouve $z(L)=-PL^3/(3EI)$.

La sensibilite 3/6/10/12/24 increments montre que 6/10/12/24 atteignent la meme fleche a 8,10e-16 relatif. Le minimum technique vaut 6; la valeur recommandee et la valeur par defaut valent 10. La convergence lente observee est donc spatiale.

La correlation Docker CalculiX 2.20 emploie exactement les memes C3D4, blocages et charges. *ELASTIC + NLGEOM utilise Green-Lagrange et Piola-Kirchhoff 2 selon le manuel CalculiX. L'ecart maximal de fleche vaut 1,86e-7 relatif sur les six niveaux.

Campagne structurelle V2

Le post-traitement expose maintenant, au point constant de chaque TET4, le gradient de deformation, Green-Lagrange, PK2, Cauchy, l'energie volumique et det(F). Trois campagnes separent explicitement :

• le patch de contraintes et d'energie VNV-TET4-TL-STRESS-005 ;
• le flambement linearise par tangente precontrainte VNV-TET4-TL-BUCKLING-EULER-006 ;
• le suivi post-critique creux avec imperfections VNV-TET4-TL-POSTBUCKLING-007.

Les resultats, formulations et limites sont regroupes dans la campagne structurelle V2. Ils restent candidats a une nouvelle revue mecanique.

Limites avant integration

• charges mortes uniquement dans un premier temps;
• aucune pression suiveuse;
• aucun J2 en deformation finie;
• aucun contact; flambement et post-flambement restent au statut research ;
• pas de revendication engineering avant les benchmarks structurels et la revue mecanique.

Contrat documentaire de la methode

Rubrique exigee	Contenu et preuve
Geometrie et DDL	TET4 de reference, 4 noeuds et 12 translations.
Formulation mathematique	$F$, Green-Lagrange, Piola-Kirchhoff 2 et push-forward Cauchy.
Integration et algorithme	Total lagrangien, force/tangente, Newton incremental et assemblage vectorise.
Exemple executable	python .\qf_solver.py solve --input .\examples\tet4_geometric_nonlinear_static.json --output .\results\tl.json
Maillage, chargement et conditions limites	Cas unitaires/assemblages; charges mortes, minimum 6 increments, recommande 10.
Tableau de resultats et figure	Rapports V&V et deformees structurelles.
Invariants	Objectivite, tangente, energie, equilibre et contraintes finies.
Convergence	Raffinement, increments et correlations CalculiX/Code_Aster.
Limites et references	Statut research; REF-FEM-BATHE, exigences TL.

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