Arbre circulaire TET4 en torsion de Saint-Venant

stable apres tests renforces

BM-SOL-TET4-TORSION-001 verifie une sollicitation de cisaillement 3D qui n'est couverte ni par le patch axial ni par la flexion du porte-a-faux.

Solution fermee, lisible directement dans le Markdown

L'arbre est oriente suivant l'axe X. Une section droite est donc reperee par sa position x; un point de cette section a pour coordonnees (y, z).

Les grandeurs utilisees sont:

Symbole	Signification
T	couple applique autour de l'axe X, en N.m
E	module de Young, en Pa
nu	coefficient de Poisson
G = E / (2 * (1 + nu))	module de cisaillement, en Pa
R	rayon de l'arbre, en m
J = pi * R^4 / 2	moment quadratique polaire de la section, en m^4

La rotation d'une section augmente lineairement avec x:

phi(x) = T * x / (G * J)

Pour un arbre circulaire, la section tourne comme un disque rigide et ne gauchit pas. Pour une petite rotation phi, le point (y, z) se deplace dans le plan de la section suivant:

u_x = 0
u_y = -phi(x) * z = -T * x * z / (G * J)
u_z =  phi(x) * y =  T * x * y / (G * J)

Ces deux composantes sont simplement le mouvement tangentiel provoque par la rotation autour de X:

• au centre, y = 0 et z = 0, donc le deplacement est nul;
• sur le cote y > 0, z = 0, le point se deplace vers +Z;
• sur le cote y = 0, z > 0, le point se deplace vers -Y;
• le signe s'inverse de l'autre cote de l'axe.

La traction appliquee sur la face terminale x = L possede les trois composantes suivantes:

t_x = 0
t_y = -T * z / J
t_z =  T * y / J

Il n'y a donc aucune traction axiale. Les composantes t_y et t_z sont tangentielles au cercle, nulles au centre et maximales sur le bord. Leur resultante est nulle, mais leur moment autour de X vaut exactement T.

Sur chaque triangle terminal de noeuds i, j, k, cette traction lineaire est convertie en forces nodales coherentes:

f_i = A / 12 * (2 * t_i + t_j + t_k)

Ici, A est l'aire du triangle et t_i, t_j, t_k sont les tractions evaluees aux trois noeuds.

La normalisation discrete impose exactement le couple demande et permet de controler separement la resultante parasite.

Maillages et extraction

Huit maillages TET4 construisent la courbe engineering reproductible. La monotonie et l'ordre sont evalues sur les trois derniers, qui constituent la zone asymptotique des maillages non structures. La face x = 0 est encastree. La rotation terminale est extraite par projection aux moindres carres:

phi_h = somme(y_a * u_z,a - z_a * u_y,a)
        / somme(y_a^2 + z_a^2)

Cette formule cherche la rotation rigide qui explique au mieux les deplacements de tous les noeuds de la face terminale.

Les images ci-dessus proviennent du niveau h8 regenere par le catalogue public. Une sonde h9 de contrainte peut etre ajoutee dans un checkout local controle, mais elle n'est pas necessaire pour construire cette documentation et ses resultats ne sont pas presents dans la baseline publique.

Acceptation et lecture

Le critere impose une erreur de rotation inferieure a 15 % sur le maillage fin, une convergence monotone dans la zone asymptotique, un ordre observe au moins egal a 0,5, un couple relatif exact a 1e-12 et un residu libre inferieur a 1e-8. Les valeurs sont regenerees dans le tableau de resultats ci-dessous; aucun chiffre du sweep engineering n'est recopie manuellement.

La contrainte L2 converge plus lentement que la rotation car le TET4 produit une contrainte constante par element et approche le bord circulaire par des facettes planes. Elle est donc evaluee dans une campagne V&V distincte plus fine et n'est pas le critere d'acceptation du sweep documentaire.

Sonde h9 optionnelle

La sonde h9 a quatre fois plus d'elements est une campagne V&V locale optionnelle. Elle n'est pas embarquee dans le checkout public, car son maillage et ses sorties sont volumineux. Le build documentaire verifie ses empreintes et publie ses chiffres lorsqu'elle est disponible; sinon il publie explicitement le dernier niveau h8 et marque la sonde h9 comme non disponible.

--8<-- "docs/generated/benchmarks/torsion_h9_stress_probe.md"

Le rapport inclus ci-dessous distingue donc toujours la sonde h9 controlee du dernier niveau public. Aucune valeur h9 n'est recopiee manuellement dans cette page et aucune acceptance de contrainte locale n'est deduite de la campagne h1-h8 seule.

Lorsqu'elle est disponible, l'etude V&V controlee dans VNV-TET4-TORSION-ANALYTIC-001/STUDY.md compare les deformees QF_solver et Saint-Venant niveau par niveau, avec le meme maillage, la meme vue et le meme facteur d'amplification. Le rapport formel est regenere par qf-solver vnv-compare.

Reproduction

qf-solver benchmark --case BM-SOL-TET4-TORSION-001 --output results/benchmarks
python .\scripts\run_torsion_stress_probe.py `
  --output .\VNV-TET4-TORSION-ANALYTIC-001\stress_probe_h9 `
  --overwrite

Reference: REF-FEM-BATHE.