Statique lineaire et systemes creux

Apres assemblage et application des blocages:

$$ \mathbf K_{ff}\mathbf u_f=\mathbf f_f. $$

La matrice elastique correctement contrainte est normalement symetrique definie positive. Le solveur ne suppose toutefois pas cette propriete pour toutes les methodes disponibles.

Hypotheses matricielles

Propriete	Consequence
$K=K^T$ et definie positive	cg est la methode iterative naturelle
$K=K^T$ mais indefinie	minres est admissible; examiner la physique
matrice generale	gmres ou bicgstab, avec cout/robustesse differents
matrice singuliere	aucun resultat n'est accepte; revoir les blocages

Methodes

La derivation des voies directe et iteratives est detaillee dans Methodes lineaires : algorithmes.

Methode	Domaine conseille	Caracteristique
direct / spsolve	Petits et moyens cas	LU creuse robuste, memoire potentiellement elevee
cg	Symetrique definie positive	Faible memoire, sensible au conditionnement
minres	Symetrique, eventuellement indefinie	Residus minimises sans stockage GMRES
gmres	Non symetrique general	Robuste mais stockage de la base de Krylov
bicgstab	Non symetrique general	Memoire contenue, convergence parfois irreguliere

Les preconditionneurs proposes sont jacobi et ilu. Jacobi est peu couteux; ILU peut accelerer fortement mais ajoute du remplissage et une factorisation.

Criteres de fin

Les solveurs iteratifs utilisent rtol, atol et maxiter. Une solution est ensuite controlee par:

$$ \eta=\frac{|\mathbf K_{ff}\mathbf u_f-\mathbf f_f|2} {\max(|\mathbf f_f|_2,|\mathbf K. $$}\mathbf u_f|_2,1)

Une solution non finie, un avertissement de rang ou $\eta$ superieur au seuil devient une NumericalConvergenceError.

Verification mecanique

Le residu libre controle les equations resolues. Les reactions sont le residu sur les ddl bloques. Pour un probleme lineaire:

$$ U=\tfrac12\mathbf u^T\mathbf K\mathbf u, \qquad W=\mathbf u^T\mathbf f, \qquad 2U\simeq W. $$

Ces identites ne detectent pas un mauvais materiau ou une mauvaise charge; elles prouvent la coherence du systeme discret assemble.

--8<-- "docs/generated/linear_solver_results.md"

Passage a l'echelle

Le mode standard extrait deux fois la matrice libre et materialise le post-traitement. Pour plusieurs millions de ddl, utiliser la voie PETSc ou matrix-free decrite dans Grands modeles.

Parametres et diagnostics

Les parametres publics sont method, rtol, atol, maxiter, preconditioner, ilu_drop_tol, ilu_fill_factor et le seuil final de residu. La sortie indique convergence, iterations, residu, preconditionneur et historique. Un fallback n'est jamais silencieux.

Complexite et memoire

Une LU creuse depend du remplissage et peut depasser largement le stockage de $K$. Une iteration de Krylov coute principalement un produit matrice-vecteur $O(nnz)$; GMRES ajoute le stockage d'une base croissante. ILU echange memoire contre reduction du nombre d'iterations.

Modes d'echec et demonstration

Sont bloques: rang insuffisant, pivot nul, limite d'iterations, residu anormal et valeur non finie. Le benchmark poutre TET4/TET10 compare les cinq methodes sur un meme systeme assemble.

Tracabilite des algorithmes

Methode/equation	Reference	Code	Test/invariant	Exigence
Equilibre, reactions et energie	REF-FEM-BATHE	core/solver.py	residu libre, $2U=W$	REQ-SOL-001
Gradient conjugue	REF-CG-1952	core/linear_methods.py	comparaison directe	REQ-SOL-001
GMRES	REF-GMRES-1986	core/linear_methods.py	residu et non-regression	REQ-SOL-001
MINRES	REF-MINRES-1975	core/linear_methods.py	matrice symetrique	REQ-SOL-001
BiCGSTAB	REF-BICGSTAB-1992	core/linear_methods.py	residu et non-regression	REQ-SOL-001

Contrat documentaire de la methode

Rubrique exigee	Contenu et preuve
Geometrie et DDL	Herites du modele; resolution sur les DDL libres.
Formulation mathematique	$K_{ff}u_f=F_f-K_{fc}u_c$ et reconstruction des reactions.
Integration et algorithme	Quadrature elementaire, assemblage sparse, reduction puis solveur choisi.
Exemple executable	python .\qf_solver.py solve --input .\examples\tet4_static.json --output .\results\static.json
Maillage, chargement et conditions limites	Cas TET4 officiel, donnees JSON validees avant assemblage.
Tableau de resultats et figure	Tableau plus haut et deformee TET4.
Invariants	Finitude, symetrie attendue, residu, reactions, equilibre et energie.
Convergence	Accord direct/iteratif et convergence en maillage propre a l'element.
Limites et references	Petites transformations; REF-FEM-BATHE, REQ-SOL-001.

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