MITC3+ - Matrices, masse, charges et condensation

Rigidite enrichie

Avant condensation, $\widehat{\mathbf q}=[\mathbf q^T,\boldsymbol\alpha^T]^T$ contient 18 DDL nodaux et deux rotations internes. La rigidite est

$$ \widehat{\mathbf K}e= \int \left( \mathbf B_m^T\mathbf A\mathbf B_m+ \mathbf B_b^T\mathbf D\mathbf B_b+ \mathbf B_s^T\mathbf A_s\mathbf B_s+ \mathbf B_d^Tk_d\mathbf B_d \right)\det\mathbf J\,dr\,ds. $$

Pour un stratifie non symetrique, les termes $\mathbf B_m^T\mathbf B\mathbf B_b$ et leur transpose sont ajoutes. L'integration utilise la regle de Dunavant a sept points de degre cinq.

Condensation statique

Avec

$$ \widehat{\mathbf K}e= \begin{bmatrix}\mathbf K\ \mathbf K_{\alpha q}&\mathbf K_{\alpha\alpha}\end{bmatrix}, $$}&\mathbf K_{q\alpha

les amplitudes internes sans charge propre valent

$$ \boldsymbol\alpha=-\mathbf K_{\alpha\alpha}^{-1} \mathbf K_{\alpha q}\mathbf q. $$

La matrice assemblee est le complement de Schur

$$ \mathbf K_e=\mathbf K_{qq} -\mathbf K_{q\alpha}\mathbf K_{\alpha\alpha}^{-1}\mathbf K_{\alpha q}. $$

Le code effectue une resolution lineaire de $\mathbf K_{\alpha\alpha}$, pas un inverse explicite. La meme transformation de Guyan projette la masse, afin que les rotations internes restent coherentes en modal et en dynamique.

Masse coherente

La masse repartit l'inertie de translation $\rho t$ et l'inertie de rotation $\rho t^3/12$. Aucune inertie artificielle n'est ajoutee a la rotation de drilling. Les DDL de drilling sans masse sont condenses par le reducteur dynamique global.

Charges coherentes

Une traction surfacique constante $\mathbf p$ produit

$$ \mathbf f_a=\int_A L_a\mathbf p\,dA={A\over3}\mathbf p. $$

Une traction constante sur une arete $(a,b)$ de longueur $\ell$ produit $\ell\mathbf t/2$ a chacun des deux noeuds. La pression positive suit la convention de charge de QF_solver et agit suivant la normale locale negative. Les forces de gravite utilisent la masse surfacique du materiau.

Code: Mitc3ShellElement.stiffness_components, mass, mitc3_condensation.py et DistributedLoadIntegrator.