TET10 - Interpolation isoparametrique et Jacobien¶
Fonctions quadratiques¶
Pour les coordonnees barycentriques $L_1+L_2+L_3+L_4=1$:
$$ N_i=L_i(2L_i-1),\quad i=1,\ldots,4, $$
$$ N_{ij}=4L_iL_j $$
sur chacune des six aretes. Elles forment une partition de l'unite et reproduisent tout polynome quadratique complet sur le tetraedre.
Mapping¶
Le point de depart est le mapping isoparametrique standard des elements de
Lagrange: les memes fonctions interpolent la geometrie et le deplacement.
Cette convention est celle exposee dans REF-FEM-BATHE; elle fixe le sens du
Jacobien avant toute implementation ou test.
La geometrie et le deplacement sont isoparametriques:
$$ \mathbf x(\boldsymbol\xi)=\sum_{a=1}^{10}N_a\mathbf x_a, \qquad \mathbf u(\boldsymbol\xi)=\sum_{a=1}^{10}N_a\mathbf u_a. $$
En definissant $J_{a i}=\partial x_i/\partial\xi_a$, la transformation correcte des gradients lignes est
$$ \mathbf D_x=\mathbf D_\xi\mathbf J^{-T}. $$
L'emploi de $J^{-1}$ ne serait correct que pour certaines matrices symetriques ou diagonales. Un patch oblique dedie protege ce point dans la suite de tests.
Jacobien variable¶
Pour un element courbe, $\det\mathbf J(\boldsymbol\xi)$ varie. QF_solver le controle aux points de Hammer et sur un lattice barycentrique ferme de 35 points. Le minimum doit etre positif. Ce controle numerique ne constitue pas une preuve analytique de positivite sur tout le domaine.
Integration de Hammer sur geometrie droite¶
Les quatre points sont les permutations de $(a,b,b,b)$:
$$ a=\frac{5+3\sqrt5}{20},\qquad b=\frac{5-\sqrt5}{20},\qquad w=\frac{1}{24}. $$
Les decimales ne sont pas une definition: elles sont seulement l'evaluation numerique de ces expressions. Chaque point porte le poids $w$; la somme des quatre poids vaut donc $4w=1/6$, soit le volume du tetraedre de reference. La regle et sa precision sont reliees en annexe a REF-HAMMER-STROUD-1956 et REF-TETRA-KEAST-1986.
La somme des poids vaut $1/6$. Pour une geometrie droite et un materiau constant, cette regle integre exactement le produit quadratique $\mathbf B^T\mathbf D\mathbf B$.
Quadrature positive sur geometrie courbe¶
Lorsque les noeuds milieux quittent les milieux geometriques des aretes, $\mathbf J$ varie et les gradients physiques contiennent $\mathbf J^{-1}$. L'integrande de rigidite n'est alors plus un simple polynome quadratique. Une regle de Hammer a quatre points peut rester stable tout en sous-integrant la geometrie.
QF_solver applique donc la selection deterministe suivante :
| Geometrie | Critere | Regle de rigidite |
|---|---|---|
| droite | deviation relative maximale des noeuds milieux $\leq 10^{-12}$ | Hammer, 4 points |
| courbe | deviation superieure a $10^{-12}$ | Duffy positive d'ordre 4, 64 points |
La transformation de Duffy utilise
$$ r=a,\qquad s=(1-a)b,\qquad t=(1-a)(1-b)c, $$
avec le facteur geometrique $(1-a)^2(1-b)$. Les poids sont tous positifs. La campagne de verification compare la regle de production a une Duffy d'ordre 8, soit 512 points.
Avant l'integration, le Jacobien est evalue sur un lattice barycentrique ferme de 35 points. Un minimum non positif interdit l'assemblage. Ce controle reste un echantillonnage numerique et ne prouve pas analytiquement la positivite sur chaque point du volume.
Tests: patch affine aligne, patch affine oblique, champ quadratique et
variation de Jacobien dans tests/unit/test_tet10_element.py; campagne
VNV-TET10-GEOMETRY-QUADRATURE-011 dans
tests/verification/test_tet10_geometry_quadrature_vnv.py.
References : REF-FEM-BATHE, REF-TETRA-KEAST-1986.