Statique non lineaire

experimental

Le solveur traite une non-linearite materielle en petits deplacements. Il ne contient pas encore de cinematique de grandes rotations ou de rigidite geometrique generale.

Equation et parametres

Le residu est $\mathbf r(\mathbf u,\lambda)=\lambda\mathbf f-\mathbf f_{int}$. Les parametres controlent increments de charge, iterations maximales, tolerance, line-search et rayon d'arc. Ils doivent etre justifies par une etude de sensibilite; converger avec un seul decoupage ne prouve pas l'independance au chemin numerique.

Newton-Raphson

A l'iteration $k$ d'un pas de charge:

$$ \mathbf K_T(\mathbf u_k)\Delta\mathbf u_k =\lambda\mathbf f-\mathbf f_{int}(\mathbf u_k), \qquad \mathbf u_{k+1}=\mathbf u_k+\Delta\mathbf u_k. $$

Le Newton complet recalcule la tangente. Le Newton modifie la reutilise dans le pas. La line-search reduit le pas par un critere d'Armijo lorsque le residu ne decroit pas suffisamment.

Continuation arc-length

L'arc-length ajoute le facteur de charge comme inconnue et contraint l'increment par une sphere dans l'espace deplacement-charge. Cette voie peut suivre certaines branches limites, mais l'implementation courante reste une fonction de recherche et non un solveur de flambement qualifie.

Etats materiau

Les etats d'un pas ne sont committes qu'apres convergence. La loi J2 utilise un retour radial et une tangente algorithmique consistante. Chargement, decharge, rechargement et plasticite parfaite sont testes unitairement.

Checkpoint et reprise

Les chemins de charge controles peuvent sauvegarder un checkpoint NPZ apres chaque nombre configure d'increments converges. Le fichier contient uniquement un etat committe : deplacements, numero d'increment, facteur de charge et variables internes de chaque point d'integration.

{
  "analysis": {
    "type": "nonlinear_static",
    "method": "newton_raphson",
    "load_path": [0.5, 1.0, 0.0, -1.0, 0.0, 1.0],
    "checkpoint_path": "j2_state.npz",
    "checkpoint_interval": 2,
    "checkpoint_keep_steps": true,
    "restart_from": "j2_state.step00000002.npz"
  }
}

Une empreinte couvre geometrie, connectivite, materiaux, charges, blocages, methode et chemin de charge. Toute modification physique refuse la reprise. La sortie trace restart_step, checkpoint_files, checkpoint_model_signature et history_is_partial.

La reprise adaptative et l'arc-length restent hors de ce premier contrat : ils necessitent aussi de serialiser l'increment propose, le rayon de continuation et les diagnostics de coupure. Ces combinaisons sont donc refusees explicitement.

--8<-- "docs/generated/nonlinear_results.md"

Conditions d'emploi

Toute utilisation exige un controle du nombre d'increments, des iterations, du chemin de charge, de la dissipation et des variables internes. Le profil qualification refuse cette famille; aucune image de convergence ne change ce statut.

Complexite, diagnostics et echecs

Chaque iteration Newton assemble une force interne et, pour Newton complet, une tangente. Le cout est donc le nombre d'iterations multiplie par assemblage et resolution. La sortie publie residus, iterations, facteurs de charge et variables internes committes. Chaque increment controle publie aussi les normes de derniere correction et de corrections cumulees, les coupures adaptatives, le statut de commit et les travaux interne/externe incrementaux.

Ces travaux sont integres par la regle trapezoidale entre deux etats converges. relative_work_imbalance est un diagnostic d'equilibre incremental; ce n'est pas une decomposition thermodynamique exacte entre energie elastique stockee et dissipation plastique. Sont bloques: pas non convergent, tangente singuliere, etat non fini, retour materiau invalide et echec de line-search.

Demonstration structurelle

La barre J2 maillee compare la contrainte moyenne a la loi uniaxiale et controle chaque pas, tout en gardant un verdict global experimental.

Tracabilite

Algorithme	Reference primaire	Code	Test/invariant	Exigence
Retour radial J2 et tangente consistante	REF-J2-SIMO-1985	materials/solid.py	differences finies, charge/decharge	REQ-NL-001
Newton et travail incremental	REF-FEM-BATHE	core/nonlinear.py	residu, iterations, dissipation	REQ-NL-001
Checkpoint transactionnel	Contrat interne controle	core/nonlinear_checkpoint.py, io/nonlinear_checkpoint.py	calcul continu/reprise, empreinte, corruption	REQ-NL-001

Contrat documentaire de la methode

Rubrique exigee	Contenu et preuve
Geometrie et DDL	Herites de l'element; petits deplacements pour la loi materielle.
Formulation mathematique	Residuel, tangente J2 consistante, Newton et continuation.
Integration et algorithme	Increments, retour constitutif aux points de Gauss, corrections et commit.
Exemple executable	python .\qf_solver.py solve --input .\examples\tet4_nonlinear_static.json --output .\results\nonlinear.json
Maillage, chargement et conditions limites	Barre TET4, charge cyclique et supports du JSON.
Tableau de resultats et figure	Tableau plus haut et convergence ci-dessous.
Invariants	Equilibre, residu, dissipation, etats committes et finitude.
Convergence	Sensibilite aux increments, chargement/decharge et CalculiX.
Limites et references	Experimental; REF-J2-SIMO-1985, REQ-NL-001.

La figure de deformee est reliee au benchmark J2; la courbe ci-dessus controle la convergence des increments.

Newton et arc-length ont des pages propres; Owner review requise.