MITC4 - Matrices, charges et rotation de drilling

Decomposition de la rigidite

La rigidite locale est publiee par contributions:

$$ \mathbf K_e=\mathbf K_m+\mathbf K_b+\mathbf K_s+\mathbf K_d, $$

$$ \mathbf K_m=\int_A\mathbf B_m^T\mathbf A\mathbf B_m\,dA, \quad \mathbf K_b=\int_A\mathbf B_b^T\mathbf D\mathbf B_b\,dA, $$

$$ \mathbf K_s=\int_A\mathbf B_s^T\mathbf S\mathbf B_s\,dA. $$

Pour une coque isotrope, $\mathbf A\propto Et$, $\mathbf D\propto Et^3/12$ et $\mathbf S\propto\kappa Gt$. Les quatre points de Gauss $2\times2$ integrent toutes les contributions.

Courbures et signes

Les conventions locales sont

$$ \kappa_x=\theta_{y,x},\quad \kappa_y=-\theta_{x,y},\quad \kappa_{xy}=\theta_{y,y}-\theta_{x,x}. $$

Elles determinent le signe des moments et des contraintes aux faces. Changer la normale ou la connectivite inverse les labels top/bottom.

Rotation de drilling

$\theta_z$ n'appartient pas a la cinematique physique minimale de la facette plane. Une penalisation controlee utilise

$$ \gamma_d=\theta_z-\tfrac12(v_{,x}-u_{,y}), \qquad \mathbf K_d=\int_A k_d\mathbf B_d^T\mathbf B_d\,dA. $$

Cette raideur stabilise l'assemblage mais ne doit pas dominer membrane ou flexion. Sa valeur est tracee dans le materiau et les audits energetiques.

Charges

La traction surfacique est integree aux quatre points de Gauss. Une pression positive agit suivant la normale opposee. Une traction d'arete est repartie lineairement entre les deux noeuds de l'arete. Les moments nodaux explicites restent des charges nodales sur RX, RY ou RZ.

Code: solveur/elements/shell/mitc4/material.py, solveur/loads/integration.py.

Matrice de masse coherente

Pour les analyses modales et Newmark, la vitesse d'un point situe a la cote $z$ dans l'epaisseur est deduite de la vitesse de la surface moyenne et des rotations tangentielles. L'energie cinetique integree dans l'epaisseur donne

$$ T_e=\frac12\int_A\left[ \rho t\,\dot{\mathbf u}_0^T\dot{\mathbf u}_0+ \frac{\rho t^3}{12} (\dot\theta_x^2+\dot\theta_y^2) \right]dA. $$

Avec les fonctions bilineaires $N_i$, la matrice locale implementee est

$$ \mathbf M_e=\int_A\mathbf N^T \operatorname{diag}\left( \rho t,\rho t,\rho t, \frac{\rho t^3}{12},\frac{\rho t^3}{12},0 \right)\mathbf N\,dA. $$

Elle est integree aux quatre points de Gauss puis transformee vers le repere global. Le zero associe a $\theta_z$ est volontaire: ajouter une inertie de drilling modifierait artificiellement les frequences propres. QF_solver traite cette direction par condensation lorsque l'assemblage la laisse effectivement sans masse.

Les invariants testes sont la symetrie, la semi-positivite, la masse translationnelle $\rho tA$, les inerties $\rho t^3A/12$ et l'objectivite sous rotation rigide.

Precision, stockage et masse concentree

La masse coherente conserve les couplages nodaux issus de $N_iN_j$. Son stockage creux suit le voisinage du maillage et son produit matrice-vecteur a un cout proportionnel au nombre de coefficients non nuls. Elle reproduit l'energie cinetique de l'interpolation MITC4 et constitue l'unique formulation acceptee dans les scopes modal, Newmark et harmonique.

Une masse concentree serait diagonale, donc moins couteuse a stocker et a inverser. Elle modifie toutefois la repartition modale, les frequences hautes et les inerties rotatoires; aucune regle de lumping MITC4 n'a encore ete verifiee dans QF_solver. Elle reste donc hors scope et une demande explicite mass_formulation: lumped ou concentrated est rejetee.