MITC4 - Interpolation, Jacobien et tying

Interpolation bilineaire

Sur $-1\le\xi,\eta\le1$:

$$ N_1=\tfrac14(1-\xi)(1-\eta),\quad N_2=\tfrac14(1+\xi)(1-\eta), $$

$$ N_3=\tfrac14(1+\xi)(1+\eta),\quad N_4=\tfrac14(1-\xi)(1+\eta). $$

Le Jacobien plan est $\mathbf J=\mathbf D_\xi^T\mathbf X_{2D}$ et les gradients lignes utilisent $\mathbf D_x=\mathbf D_\xi\mathbf J^{-T}$. Son determinant doit etre positif aux quatre points de Gauss.

Cisaillement de Reissner-Mindlin

Dans la base locale, les deformations transverses sont

$$ \gamma_{xz}=w_{,x}+\theta_y, \qquad \gamma_{yz}=w_{,y}-\theta_x. $$

Une interpolation bilineaire directe impose trop de contraintes lorsque l'epaisseur diminue et provoque le shear locking.

Points de tying MITC

Les composantes covariantes sont evaluees aux milieux des quatre cotes:

$$ A=(0,-1),\quad B=(1,0),\quad C=(0,1),\quad D=(-1,0). $$

La composante suivant $\xi$ interpole A et C en fonction de $\eta$; celle suivant $\eta$ interpole D et B en fonction de $\xi$:

$$ \tilde\gamma_\xi=\tfrac12[(1-\eta)\gamma_\xi^A+(1+\eta)\gamma_\xi^C], $$

$$ \tilde\gamma_\eta=\tfrac12[(1-\xi)\gamma_\eta^D+(1+\xi)\gamma_\eta^B]. $$

Le Jacobien transforme ensuite ces composantes vers $(x,y)$. Ce choix reduit les contraintes parasites sans supprimer physiquement l'energie de cisaillement.

Verification du tying

Le code conserve un element Q4FullShearElement uniquement comme temoin. Sur une plaque mince, sa reponse doit se verrouiller alors que MITC4 garde une convergence utilisable. Cette comparaison fait partie de la preuve, pas de l'API de production.

References: REF-MITC4-DVORKIN, REF-MITC-BATHE.