Theorie classique des stratifies

Empilement et interfaces

Les plis sont declares de la face inferieure vers la face superieure. Pour une epaisseur totale h, l'origine est le plan moyen geometrique :

[ z_0=-\frac{h}{2},\qquad z_k=z_{k-1}+t_k,\qquad z_n=+\frac{h}{2}. ]

Chaque LaminaPly associe un materiau OrthotropicLamina, une epaisseur strictement positive, un angle et un nom facultatif. L'angle suit les conventions de la lamelle orthotrope.

Cinematique

La theorie classique suppose les normales droites et ne decrit pas le cisaillement transverse. La deformation dans le plan varie lineairement dans l'epaisseur :

[ \boldsymbol\varepsilon(z) =\boldsymbol\varepsilon^0+z\boldsymbol\kappa, ]

avec

[ \boldsymbol\varepsilon^0= \begin{bmatrix}\varepsilon_x^0&\varepsilon_y^0&\gamma_{xy}^0\end{bmatrix}^T, \qquad \boldsymbol\kappa= \begin{bmatrix}\kappa_x&\kappa_y&\kappa_{xy}\end{bmatrix}^T. ]

Cette convention fixe le signe des matrices de couplage. Une courbure positive augmente la composante correspondante lorsque z augmente vers la face superieure.

Matrices A, B et D

Pour le pli k, Qbar_k est constant entre z_(k-1) et z_k. L'integration exacte en epaisseur donne :

[ \mathbf A=\sum_{k=1}^{n}\overline{\mathbf Q}k(z_k-z), ]

[ \mathbf B=\frac12\sum_{k=1}^{n}\overline{\mathbf Q}k (z_k^2-z^2), ]

[ \mathbf D=\frac13\sum_{k=1}^{n}\overline{\mathbf Q}k (z_k^3-z^3). ]

Les unites SI sont respectivement N/m, N et N.m. La matrice generalisee est symetrique :

[ \begin{bmatrix}\mathbf N\\mathbf M\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mathbf A&\mathbf B\\mathbf B&\mathbf D\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\boldsymbol\varepsilon^0\\boldsymbol\kappa\end{bmatrix}. ]

ClassicalLaminate.resultants applique cette relation et generalized_strains resout le systeme inverse sans former explicitement l'inverse de ABD.

Empilements symetriques, equilibres et non symetriques

Symetrique. Un empilement miroir par rapport au plan moyen conduit a B=0. Une deformation de membrane pure ne genere alors aucun moment.

Equilibre. Des contributions +theta et -theta equivalentes annulent les termes extensional-cisaillement A16 et A26. Cela n'impose pas a lui seul D16=D26=0.

Non symetrique. B peut etre non nul. Le couplage membrane-flexion est un resultat physique et ne doit pas etre supprime numeriquement.

Les fonctions is_symmetric et is_balanced controlent directement les couplages mecaniques obtenus, avec une tolerance relative explicite.

Demonstrations analytiques

Materiau : E1=135 GPa, E2=10 GPa, nu12=0,3, G12=5 GPa; chaque pli mesure 0,125 mm.

Empilement bas vers haut	Epaisseur	Propriete verifiee	Resultat
[0]	0,125 mm	A=Q t, B=0, D=Q t^3/12	PASS
[0/90/90/0]	0,500 mm	norme de B	8,53e-14 N
[+45/-45/-45/+45]	0,500 mm	A16=A26=0	exact a l'arrondi
[0/90]	0,250 mm	couplage B11=-B22	983,117 N

Pour [0/90/90/0], la matrice de membrane en MN/m vaut :

[ \mathbf A= \begin{bmatrix} 36.4933&1.51007&0\ 1.51007&36.4933&0\ 0&0&2.50000 \end{bmatrix}. ]

Les tests imposent egalement la positivite de ABD, l'identite charges -> deformations -> charges et l'egalite d'energie entre axes materiau et axes elementaires aux faces et au milieu de chaque pli.

Recuperation par pli

ply_results retourne pour chaque pli les valeurs lower, middle et upper : coordonnee z, deformation et contrainte dans les axes elementaires, puis deformation et contrainte dans les axes materiau. Aux interfaces, les deformations sont continues mais les contraintes peuvent etre discontinues, ce qui est physiquement attendu lorsque l'orientation change.

Limites de P6.2

• aucune dilatation thermique ou hygroscopique;
• aucun cisaillement transverse G13/G23;
• aucun offset de surface de reference;
• aucune integration dans MITC4;
• les criteres de premier pli sont traites dans un module separe; aucun endommagement ni aucune degradation de rigidite;
• aucune revendication de validation structurelle composite.

Reference : REF-COMP-JONES.