MITC3+ - Interpolation, bulle et tying

Fonctions lineaires

Avec $L_1=1-r-s$, $L_2=r$ et $L_3=s$, les translations de la surface moyenne sont interpolees par

$$ \mathbf u_0(r,s)=\sum_{a=1}^{3}L_a(r,s)\mathbf u_a. $$

Enrichissement des rotations

La bulle cubique vaut

$$ f_4=27rs(1-r-s). $$

Elle est nulle sur les trois aretes. Les fonctions de rotation corrigees sont

$$ f_a=L_a-\frac13 f_4,\qquad a=1,2,3. $$

Les rotations tangentielles utilisent alors quatre fonctions : trois valeurs nodales et une amplitude interne. Cette construction preserve la trace lineaire sur le contour et enrichit la flexion a l'interieur.

Points de tying

Les cisaillements covariants compatibles $\gamma_{rt}$ et $\gamma_{st}$ sont evalues aux points

$$ A=(1/6,2/3),\quad B=(2/3,1/6),\quad C=(1/6,1/6), $$

et aux trois points proches du barycentre

$$ D=(1/3+d,1/3-2d),\quad E=(1/3-2d,1/3+d),\quad F=(1/3+d,1/3+d), $$

avec $d=10^{-4}$. Le champ suppose reconstruit les deux composantes covariantes suivant les equations (15) a (17) de la publication primaire. Sa partie constante est notamment

$$ \widehat{\gamma}{rt}^{\,c} =\frac{2}{3}\left( \gamma \right) +\frac{1}{3}\left( \gamma_{rt}^{(C)}+\gamma_{st}^{(C)} \right), $$}^{(B)}-\frac{1}{2}\gamma_{st}^{(B)

$$ \widehat{\gamma}{st}^{\,c} =\frac{2}{3}\left( \gamma \right) +\frac{1}{3}\left( \gamma_{rt}^{(C)}+\gamma_{st}^{(C)} \right). $$}^{(A)}-\frac{1}{2}\gamma_{rt}^{(A)

Les parentheses sont essentielles : le facteur $2/3$ multiplie les deux termes du premier groupe. Un patch automatise impose successivement $\gamma_{xz}$, $\gamma_{yz}$ puis les deux composantes et exige une reproduction a la precision numerique.

Le passage aux composantes cartesiennes utilise le Jacobien de la facette.

Cette interpolation est la difference essentielle avec un triangle de Reissner-Mindlin a cisaillement complet. Elle evite de surcontraindre la condition de cisaillement nul lorsque $t/L$ devient petit.

Jacobien

Pour les coordonnees locales $\mathbf x_a=(x_a,y_a)$,

$$ \mathbf J= \begin{bmatrix} \partial x/\partial r&\partial y/\partial r\ \partial x/\partial s&\partial y/\partial s \end{bmatrix}. $$

$\det\mathbf J$ est constant pour une facette P1 et doit etre strictement positif. Une valeur nulle ou negative bloque la resolution.

Code : rotation_shape_functions, assumed_covariant_shear et _jacobian.

Reference primaire

Y. Lee, P.-S. Lee et K.-J. Bathe, The MITC3+ shell element and its performance, Computers & Structures 138 (2014), equations (15) a (17), DOI 10.1016/j.compstruc.2014.02.005.