Dynamique transitoire de Newmark

stable apres tests renforces

Le schema approxime sur un pas $\Delta t$:

$$ \mathbf u_{n+1}=\mathbf u_n+\Delta t\mathbf v_n +\Delta t^2[(\tfrac12-\beta)\mathbf a_n+\beta\mathbf a_{n+1}], $$

$$ \mathbf v_{n+1}=\mathbf v_n +\Delta t[(1-\gamma)\mathbf a_n+\gamma\mathbf a_{n+1}]. $$

Le choix par defaut $\beta=1/4$, $\gamma=1/2$ correspond a l'acceleration moyenne, stable sans condition pour un systeme lineaire. Le parseur impose:

$$ \gamma\ge\tfrac12, \qquad \beta\ge\tfrac14(\gamma+\tfrac12)^2. $$

Hypotheses et parametres

Le schema courant est lineaire en petits deplacements avec matrices $M$, $C$ et $K$ constantes. Les parametres principaux sont time_step, steps, newmark_beta, newmark_gamma, les coefficients de Rayleigh, les conditions initiales et la table de charge. Temps non croissants, pas nul, table de longueur incoherente ou coefficient non fini sont refuses.

Systeme effectif

Avec les coefficients de Newmark, la matrice constante est:

$$ \mathbf K_{eff}=\mathbf K+a_0\mathbf M+a_1\mathbf C. $$

Les coefficients et le second membre utilises sont explicites :

$$ a_0=\frac{1}{\beta\Delta t^2},\quad a_1=\frac{\gamma}{\beta\Delta t}, \quad a_2=\frac{1}{\beta\Delta t},\quad a_3=\frac{1}{2\beta}-1, $$

$$ a_4=\frac{\gamma}{\beta}-1,\qquad a_5=\frac{\Delta t}{2}\left(\frac{\gamma}{\beta}-2\right), $$

$$ \mathbf f_{eff,n+1}=\mathbf f_{n+1} +\mathbf M(a_0\mathbf u_n+a_2\mathbf v_n+a_3\mathbf a_n) +\mathbf C(a_1\mathbf u_n+a_4\mathbf v_n+a_5\mathbf a_n). $$

Le pas resout $\mathbf K_{eff}\mathbf u_{n+1}=\mathbf f_{eff,n+1}$, puis les recurrences precedentes donnent $\mathbf a_{n+1}$ et $\mathbf v_{n+1}$. Les operations sont appliquees aux ddl libres apres traitement des blocages.

Sur MITC4, la recurrence est appliquee apres condensation des rotations de drilling sans masse. Les six ddl nodaux sont reconstruits avant calcul des reactions, energies et resultats de coque. Le premier perimetre qualifiable impose rayleigh_beta=0 lorsqu'une condensation est active; une composante proportionnelle a la raideur demanderait un traitement algebro-differentiel supplementaire.

Une factorisation directe est reutilisee sur tous les pas. Si une methode iterative est demandee, aucune factorisation n'est creee et chaque second membre est resolu separement.

Politique de resolution de la matrice effective

Avant la premiere factorisation, QF_solver evalue $K_{eff}$ et publie solver.linear_selection ainsi que audit.solver_selection. Ces champs contiennent la symetrie, le caractere reel, le signe de la diagonale, le cout creux estime et une estimation de memoire directe. solver.linear_execution enregistre ensuite la methode effectivement utilisee et indique si la factorisation a ete reutilisee. Il n'existe aucun basculement automatique en cas de non-convergence.

Une demande CG est refusee si $K_{eff}$ n'est pas reel, symetrique et a diagonale strictement positive; CG et MINRES n'acceptent que le preconditionnement none ou jacobi dans la route standard. Le parametre direct_memory_budget_mb, combine a enforce_direct_memory_budget: true, refuse une factorisation directe dont la memoire estimee depasse le budget, y compris si cette factorisation devait etre reutilisee sur plusieurs pas.

Charges, reprise et controles

Les facteurs peuvent etre tabules en temps et interpoles lineairement. Les checkpoints NPZ contiennent l'etat $(u,v,a)$, le pas acheve et une empreinte du modele; toute reprise incompatible est refusee.

Chaque charge nodale ou repartie peut egalement recevoir une histoire independante via load_factors_by_load. Les indices suivent l'ordre stable de l'assemblage: charges nodales, puis charges reparties. Le vecteur applique est:

$$ \mathbf f(t_n)=\sum_j g_j(t_n)\mathbf f_j. $$

La linearite est controlee par la comparaison entre une execution combinee et la somme de deux executions mono-composante.

Deux taux d'amortissement cibles peuvent calibrer automatiquement Rayleigh:

$$ \zeta(\omega)=\frac{\alpha}{2\omega}+\frac{\beta_R\omega}{2}. $$

modal_damping_targets contient exactement deux couples frequence/taux. Les coefficients negatifs, les frequences confondues et le melange avec des coefficients explicites sont refuses. Il s'agit d'un calage de Rayleigh sur deux modes, et non de taux independants arbitraires pour tous les modes.

Sur MITC4, un calage donnant beta_R > 0 est actuellement accepte seulement si aucune direction de drilling ne doit etre condensee. La campagne de controle fixe donc RZ; le domaine condense historique reste limite a beta_R=0.

Trois excitations reproductibles sont disponibles en plus de la constante, de la rampe et du sinus. L'impulsion demi-sinus de duree $T_p$ vaut:

$$ g(t)=\begin{cases} \sin(\pi t/T_p),&0\le t\le T_p,\ 0,&t>T_p, \end{cases} $$

et le chirp lineaire de $f_0$ a $f_1$ sur $T_c$ vaut:

$$ g(t)=\sin\left[2\pi\left(f_0t+ \frac{f_1-f_0}{2T_c}t^2\right)\right],\qquad 0\le t\le T_c. $$

La table arbitraire conserve ses points d'origine et utilise une interpolation affine entre deux instants. Les valeurs hors table restent constantes, ce qui doit etre pris en compte explicitement lors de la definition du signal.

A chaque pas, le code controle:

$$ \mathbf r_n=\mathbf M\mathbf a_n+\mathbf C\mathbf v_n +\mathbf K\mathbf u_n-\mathbf f_n, $$

les valeurs finies, les energies cinetique et de deformation, et la derive relative par rapport a l'energie initiale.

--8<-- "docs/generated/newmark_results.md"

Choix du pas de temps

La stabilite ne garantit pas la precision. Pour une frequence maximale d'interet $f_{max}$, une etude de sensibilite doit confirmer le nombre de pas par periode. Les discontinuites de chargement et les hautes frequences exigent un pas plus petit, meme avec l'acceleration moyenne.

La campagne MITC4 VNV-MITC4-NEWMARK-FREE-002 mesure cette precision sur un mode propre deja verifie. Elle utilise une sonde temporelle signee declaree par history_probes, puis calcule l'erreur RMS face au cosinus analytique. L'ordre observe est voisin de deux, conformement au schema moyenne acceleration. Une stabilite inconditionnelle ne doit donc jamais etre interpretee comme une precision independante de $\Delta t$.

La campagne etendue VNV-MITC4-NEWMARK-DAMPED-FORCED-003 verifie ensuite :

$$ u(t)=u_0e^{-\zeta\omega t} \left[\cos(\omega_dt)+\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_dt)\right], $$

pour la vibration libre amortie, puis

$$ q(t)=\frac{\sin(\Omega t)-(\Omega/\omega)\sin(\omega t)} {\omega^2-\Omega^2} $$

pour une force modale sinusoidale $F=M\phi_1$. Ces choix isolent la precision temporelle du schema sans introduire d'erreur de projection modale inconnue.

Oracle temporel independant

La campagne large bande ne compare pas Newmark a une seconde implementation de Newmark. Les matrices reduites sont diagonalisees selon:

$$ K\Phi=M\Phi\Lambda,\qquad \Phi^TM\Phi=I, $$

puis chaque coordonnee modale satisfait:

$$ \ddot q_i+c_i\dot q_i+\lambda_iq_i=p_i(t), \qquad c_i=\alpha+\beta_R\lambda_i. $$

Sur un intervalle, la charge tabulee est affine, $p_i(t)=p_{i,n}+s_i\tau$. L'etat augmente suit exactement:

$$ \frac{d}{d\tau} \begin{bmatrix}q_i\\dot q_i\p_i\s_i\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&1&0&0\ -\lambda_i&-c_i&1&0\ 0&0&0&1\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_i\\dot q_i\p_i\s_i\end{bmatrix}. $$

La solution au pas suivant est obtenue par l'exponentielle de cette matrice. Cette reference partage la discretisation spatiale MITC4, mais aucune recurrence de Newmark: elle isole donc strictement l'erreur temporelle.

La campagne VNV-MITC4-NEWMARK-BROADBAND-004 utilise une plaque NAFEMS 13H 8x8, une force nodale de 100 N, une sonde UZ et une sonde de contrainte locale S11 en face superieure. Au pas fin, les erreurs RMS deplacement / contrainte valent respectivement 0,298 % / 1,390 % pour l'impulsion, 0,077 % / 0,119 % pour le chirp et 0,037 % / 0,033 % pour la table.

--8<-- "docs/generated/mitc4_newmark_broadband_results.md"

Charges independantes, calage modal et reprise

VNV-MITC4-NEWMARK-OPERATIONAL-006 combine une force UZ et un moment RY avec deux histoires distinctes. Elle compare la reponse combinee a la somme des reponses, cale Rayleigh sur les modes 1 et 3, puis reprend le calcul au pas 40 depuis un checkpoint NPZ.

Controle	Resultat maximal	Verdict
superposition deplacement	1,590e-13	PASS
superposition vitesse	3,813e-11	PASS
superposition acceleration	2,337e-8	PASS
erreur RMS de decroissance du mode 1	0,300 %	PASS
erreur etat final apres reprise	0	PASS

Cette extension est PASS en verification interne mais reste un addendum post-revue: elle n'elargit pas silencieusement la decision mecanique du 2026-07-16.

Correlation Code_Aster sur le meme maillage

Le chirp fin est rejoue localement avec Code_Aster 18.1.0, element DKQ, maillage 8x8, blocages, force, amortissement de Rayleigh et grille temporelle identiques. Les correlations signees valent 0,9543 pour UZ et 0,9560 pour S11; les ecarts de pic sont 5,20 % et 10,51 %. L'ecart RMS proche de 15,8 % reste publie: les frequences des formulations MITC4 Reissner-Mindlin et DKQ Kirchhoff ne sont pas identiques et leur phase derive sur quatre periodes.

Decision de revue mecanique

Quentin Farinazzo accepte le scope mitc4-transient-dynamic avec recommandations le 2026-07-16 pour un usage engineering interne. La revue controlee conserve les limites, recommandations et le caractere non independant de cette auto-revue. Le statut de qualification reste candidate.

Complexite, diagnostics et echecs

Avec LU reutilisee, une factorisation de $K_{eff}$ est suivie d'une resolution par pas. Avec Krylov, chaque pas porte sa propre convergence. La sortie publie residu dynamique, energies, derive, nombre de factorisations et reprise. Instabilite des parametres, etat non fini, residu excessif ou checkpoint incompatible produit une erreur.

Demonstration structurelle

Le porte-a-faux dynamique maille initialise le premier mode et controle la conservation d'energie sur plusieurs periodes.

Tracabilite

Equation	Reference primaire	Code	Test/invariant	Exigence
Recurrence $\beta$-$\gamma$	REF-NEWMARK-1959	core/dynamic.py	oscillateur analytique	REQ-DYN-001
Stabilite et precision	REF-DIRECT-INTEGRATION-1972	core/dynamic.py	energie, amortissement, sensibilite $\Delta t$	REQ-DYN-002
Newmark MITC4 condense	REF-FEM-BATHE	core/dynamic.py, core/dynamic_reduction.py	vibration libre et amortie	REQ-DYN-003
Charge affine et oracle exponentiel	REF-FEM-BATHE	verification/transient_modal_oracle.py	impulsion, chirp, table	REQ-DYN-001, FORM-DYN-001
Charges independantes et calage Rayleigh	REF-FEM-BATHE	core/dynamic_controls.py	superposition, taux cibles, reprise	REQ-DYN-001, REQ-DYN-002
Correlation externe transitoire	Code_Aster 18.1.0	scripts/run_code_aster_newmark_vnv.py	meme maillage DKQ	REQ-DYN-003

Contrat documentaire de la methode

Rubrique exigee	Contenu et preuve
Geometrie et DDL	Herites des elements; reduction des DDL sans masse.
Formulation mathematique	Recurrence Newmark, matrice effective et Rayleigh.
Integration et algorithme	Integration implicite, resolution par pas et checkpoint.
Exemple executable	python .\qf_solver.py solve --input .\examples\mitc4_newmark_cantilever.json --output .\results\newmark.json
Maillage, chargement et conditions limites	Porte-a-faux MITC4; charge temporelle, conditions initiales et blocages JSON.
Tableau de resultats et figure	Tableau plus haut et historique ci-dessous.
Invariants	Equilibre dynamique, finitude, energie, amortissement et reprise.
Convergence	Pas $T/20$ a $T/160$, periode/RMS et Code_Aster.
Limites et references	Lineaire, pas a justifier; REF-NEWMARK-1959, REQ-DYN-*.

La figure de deformee associee au maillage est publiee dans la campagne MITC4 transitoire; l'historique ci-dessus porte l'observable temporel controle.

Owner review documentaire requise; aucune maturite ne change automatiquement.