Gradient conjugue¶
maturite inchangee : stable dans le perimetre SPD
Geometrie, DDL et integration¶
CG agit sur les DDL libres du systeme element fini assemble. Il n'ajoute aucune integration : maillage, quadrature, chargement et blocages proviennent des elements et du modele d'entree.
Formulation mathematique et algorithme¶
Pour $K=K^T>0$, CG minimise l'energie quadratique
$$ \Pi(u)=\tfrac12u^TKu-u^TF $$
sur les espaces de Krylov. Avec $r_0=F-Ku_0$ et $p_0=r_0$, il construit des directions $K$-conjuguees jusqu'a satisfaction du residu.
- initialiser $u_0$, $r_0$ et le preconditionneur;
- calculer le pas dans la direction $p_k$;
- mettre a jour $u_k$ et $r_k$;
- construire la direction conjuguee suivante;
- arreter sur tolerance ou declarer la non-convergence.
Exemple executable, maillage et conditions limites¶
python .\qf_solver.py solve --input .\examples\tet4_static.json `
--output .\results\cg.json --method cg
Le cas utilise le maillage, la charge et les blocages du TET4 officiel.
Tableau, figure, invariants et convergence¶
--8<-- "docs/generated/linear_solver_results.md"
Le tableau de resultats est regenere. La figure de deformee du cas est disponible sur la page TET4.
Sont controles : symetrie, positivite attendue, finitude, residu relatif, equilibre et accord avec la solution directe. La courbe de residu est la preuve de convergence algorithmique; elle ne prouve pas la convergence en maillage.
Limites et references¶
CG ne doit pas etre employe pour une matrice non symetrique ou indefinie. Le conditionnement et le preconditionneur gouvernent le nombre d'iterations. Voir Hestenes et Stiefel et la page commune.
Owner review¶
Cette page a ete incluse dans l'Owner review documentaire du 1er aout 2026,
avec decision accepted_with_recommendations. Aucune maturite mecanique n'est
changee par sa seule publication.