Poutre 3D TET4/TET10 en flexion

stable apres tests renforces

BM-SOL-CANTILEVER-001 compare deux discretisations volumiques du meme porte-a-faux, puis confronte les cinq solveurs lineaires au resultat direct.

Reference mecanique

Pour une force terminale $F$, la fleche de reference inclut flexion et cisaillement de Timoshenko:

$$ w(L)=\frac{FL^3}{3EI}+\frac{FL}{\kappa GA}, \qquad \kappa=\frac56. $$

Cette expression est une reference asymptotique de poutre, pas la solution fermee exacte du continuum 3D. Le critere porte donc sur le maillage TET10 fin et reste borne a la geometrie publiee.

Maillages et conditions aux limites

Deux maillages Gmsh de meme taille nominale sont generes: tetraedres lineaires et tetraedres quadratiques. La face $x=0$ est encastree. Une traction uniforme sur $x=L$ donne la force et le moment attendus sans dependance au nombre de noeuds de bord.

Six maillages TET4 supplementaires, de tailles nominales decroissantes, sont resolus avec les memes donnees. L'ordre observe est la pente de la regression lineaire de $\log(e_h)$ sur $\log(h)$ sur les trois derniers niveaux. Les maillages grossiers non structures peuvent osciller avant la zone asymptotique; ils restent publies dans le tableau, mais ne pilotent pas le critere de monotonie. La reference de Timoshenko n'etant pas la solution exacte du continuum 3D encastre, ce controle qualifie une tendance sur l'intervalle publie et non un ordre asymptotique universel.

Comparaison algebrique

direct, CG, GMRES, BiCGSTAB et MINRES utilisent la meme matrice et le meme second membre. Les methodes iteratives emploient Jacobi ou ILU selon leurs hypotheses. La norme relative des differences de deplacement doit rester sous la limite du registre.

Conclusion de convergence

La conclusion numerique est regeneree avec le tableau ci-dessous. Elle porte sur la fleche moyenne de la face libre et sur la zone asymptotique des niveaux 4 a 6. La reference de Timoshenko n'est pas une solution exacte du continuum 3D; la preuve ne doit donc pas etre etendue automatiquement aux contraintes locales de l'encastrement.

--8<-- "docs/generated/benchmarks/bm-sol-cantilever-001_results.md"

Reproduction et portee

qf-solver benchmark --case BM-SOL-CANTILEVER-001 --output results/benchmarks

Le cas detecte aussi les erreurs de permutation des noeuds d'arete TET10 et de transformation $J^{-T}$. References: REF-FEM-BATHE, REF-CG-1952, REF-GMRES-1986.