BEAM2 - Formulation forte et formulation faible¶
1. Cinematique de Timoshenko¶
Dans le repere local $(x,y,z)$, l'axe moyen est $x$. Les inconnues de section sont
$$ \mathbf q(x)= \begin{bmatrix}u&v&w&\theta_x&\theta_y&\theta_z\end{bmatrix}^T. $$
Les deformations generalisees sont
$$ \varepsilon_x=u', \quad \gamma_y=v'-\theta_z, \quad \gamma_z=w'+\theta_y, $$
$$ \kappa_x=\theta_x', \quad \kappa_y=\theta_y', \quad \kappa_z=\theta_z'. $$
2. Lois de comportement sectionnelles¶
Pour une poutre isotrope a section constante :
$$ N=EA\varepsilon_x,\qquad T=GJ\kappa_x, $$
$$ Q_y=\kappa_y^{s}GA\gamma_y,\qquad Q_z=\kappa_z^{s}GA\gamma_z, $$
$$ M_y=EI_y\kappa_y,\qquad M_z=EI_z\kappa_z. $$
Les facteurs de correction de cisaillement dependent de la forme de section et doivent etre fournis comme donnees d'ingenierie.
3. Formulation forte¶
Sans inertie, l'equilibre local d'une poutre droite s'ecrit
$$ N'+p_x=0,\qquad Q_y'+p_y=0,\qquad Q_z'+p_z=0, $$
$$ T'+m_x=0,\qquad M_y'-Q_z+m_y=0,\qquad M_z'+Q_y+m_z=0. $$
Les efforts imposes aux extremites sont les quantites duales des six DDL.
4. Formulation faible¶
Le travail virtuel interne est
$$ \delta W_{int}= \int_0^L \left( \delta\varepsilon_xN+ \delta\gamma_yQ_y+ \delta\gamma_zQ_z+ \delta\kappa_xT+ \delta\kappa_yM_y+ \delta\kappa_zM_z \right)dx. $$
Le travail externe regroupe charges reparties, couples repartis et efforts d'extremite. Le probleme faible cherche $\mathbf q$ cinematiquement admissible telle que
$$ \delta W_{int}=\delta W_{ext} \qquad\forall\delta\mathbf q. $$
5. Energie potentielle¶
Pour une loi elastique lineaire,
$$ \Pi(\mathbf q)= \frac12\int_0^L \begin{aligned}[t] \bigl(&EA\varepsilon_x^2+ \kappa_y^sGA\gamma_y^2+ \kappa_z^sGA\gamma_z^2\ &+GJ\kappa_x^2+ EI_y\kappa_y^2+ EI_z\kappa_z^2\bigr) \end{aligned} \,dx-W_{ext}. $$
La stationnarite de $\Pi$ redonne la formulation faible. Elle montre pourquoi la rigidite elementaire est symetrique et pourquoi les six mouvements rigides ont une energie nulle.
6. Conditions de validite¶
La theorie suppose une poutre slender ou modérément epaisse, une section indeformable dans son plan et de petites rotations. Elle ne represente pas le gauchissement non uniforme de torsion, l'ovalisation, les effets locaux de jonction ou une section plastifiee.
7. Tests associes¶
| ID | Cas | Reference |
|---|---|---|
| BEAM2-FW-01 | traction uniforme | $u(L)=NL/(EA)$ |
| BEAM2-FW-02 | torsion uniforme | $\theta_x(L)=TL/(GJ)$ |
| BEAM2-FW-03 | flexion $y$ | Euler + correction Timoshenko |
| BEAM2-FW-04 | flexion $z$ | Euler + correction Timoshenko |
| BEAM2-FW-05 | six modes rigides | energie nulle |
| BEAM2-FW-06 | rotation globale | invariance de la reponse |
8. Exemple executable¶
python .\qf_solver.py solve --input .\examples\beam2_cantilever.json `
--output .\results\beam2_weak_form.json
python -m pytest tests\unit\test_beam2_element.py
9. Resultats a publier¶
Le rapport doit exposer fleches, rotations, reactions, efforts sectionnels, energies axiale/cisaillement/torsion/flexion et ratio de cisaillement. Le repere local et la direction de reference doivent accompagner toute figure.
10. References¶
REF-BEAM-TIMOSHENKO-1921, REF-FEM-BATHE, code
solveur/elements/beam/beam2.py, tests unitaires et correlation Code_Aster
POU_D_E. Le statut reste experimental hors du domaine effectivement
compare.