TET4 - De la formulation forte a la formulation faible¶
1. Probleme continu¶
On considere un solide elastique occupant le domaine ouvert $\Omega\subset\mathbb R^3$, de frontiere $\partial\Omega=\Gamma_u\cup\Gamma_t$, avec $\Gamma_u\cap\Gamma_t=\varnothing$. L'inconnue est le deplacement $\mathbf u:\Omega\rightarrow\mathbb R^3$.
La formulation forte de l'equilibre quasi-statique est
$$ -\nabla\cdot\boldsymbol\sigma(\mathbf u)=\mathbf b \qquad\text{dans }\Omega, $$
avec les conditions aux limites
$$ \mathbf u=\overline{\mathbf u}\quad\text{sur }\Gamma_u, \qquad \boldsymbol\sigma\mathbf n=\overline{\mathbf t} \quad\text{sur }\Gamma_t. $$
Pour les petites deformations :
$$ \boldsymbol\varepsilon(\mathbf u) =\frac12\left(\nabla\mathbf u+\nabla\mathbf u^T\right), \qquad \boldsymbol\sigma=\mathbb C:\boldsymbol\varepsilon. $$
La loi isotrope est definie positive si $E>0$ et $-1<\nu<1/2$. La limite $\nu\rightarrow1/2$ est mathematiquement admissible pour le continu mais provoque le verrouillage volumique du TET4 deplacement.
2. Espaces admissibles¶
L'espace cinematiquement admissible et l'espace des variations sont
$$ \mathcal U= \left{\mathbf u\in[H^1(\Omega)]^3: \mathbf u=\overline{\mathbf u}\text{ sur }\Gamma_u\right}, $$
$$ \mathcal V= \left{\mathbf v\in[H^1(\Omega)]^3: \mathbf v=\mathbf0\text{ sur }\Gamma_u\right}. $$
Le choix $H^1$ exige des deplacements continus mais autorise des gradients discontinus entre elements. C'est exactement le comportement d'un assemblage TET4 conforme : $\mathbf u_h$ est $C^0$ et les contraintes sont constantes par element, donc generalement discontinues aux faces.
3. Passage a la formulation faible¶
On multiplie l'equilibre par une variation $\mathbf v\in\mathcal V$, puis on integre sur $\Omega$ :
$$ -\int_\Omega\mathbf v\cdot \left(\nabla\cdot\boldsymbol\sigma\right)\,d\Omega =\int_\Omega\mathbf v\cdot\mathbf b\,d\Omega. $$
L'identite de Green donne
$$ \int_\Omega \boldsymbol\varepsilon(\mathbf v):\boldsymbol\sigma(\mathbf u)\,d\Omega = \int_\Omega\mathbf v\cdot\mathbf b\,d\Omega +\int_{\Gamma_t}\mathbf v\cdot\overline{\mathbf t}\,d\Gamma. $$
La formulation faible consiste donc a trouver $\mathbf u\in\mathcal U$ tel que, pour tout $\mathbf v\in\mathcal V$,
$$ a(\mathbf v,\mathbf u)=\ell(\mathbf v), $$
$$ a(\mathbf v,\mathbf u)= \int_\Omega\boldsymbol\varepsilon(\mathbf v): \mathbb C:\boldsymbol\varepsilon(\mathbf u)\,d\Omega, $$
$$ \ell(\mathbf v)= \int_\Omega\mathbf v\cdot\mathbf b\,d\Omega+ \int_{\Gamma_t}\mathbf v\cdot\overline{\mathbf t}\,d\Gamma. $$
La symetrie majeure de $\mathbb C$ implique la symetrie de $a$. Sous des blocages supprimant les mouvements rigides, l'inegalite de Korn assure la coercivite et donc l'unicite du probleme lineaire.
4. Sous-espace discret TET4¶
Sur un tetraedre $\Omega_e$, les fonctions barycentriques lineaires sont
$$ N_a(\mathbf x)=\alpha_a+\beta_ax+\gamma_ay+\delta_az, \qquad a=1,\ldots,4. $$
L'approximation est
$$ \mathbf u_h(\mathbf x)= \sum_{a=1}^4N_a(\mathbf x)\mathbf d_a =\mathbf N(\mathbf x)\mathbf d_e. $$
Les gradients $\nabla N_a$ sont constants. En notation de Voigt a cisaillements d'ingenieur,
$$ \boldsymbol\varepsilon_h=\mathbf B_e\mathbf d_e, $$
avec $\mathbf B_e$ constante. L'insertion dans la forme bilineaire conduit a
$$ \mathbf K_e =\int_{\Omega_e}\mathbf B_e^T\mathbf D\mathbf B_e\,d\Omega =V_e\mathbf B_e^T\mathbf D\mathbf B_e. $$
Cette egalite explique a la fois l'efficacite du TET4 et ses limites : un seul etat de deformation est disponible dans chaque element.
5. Charges coherentes¶
Une force volumique constante produit
$$ \mathbf f_e^{\,b} =\int_{\Omega_e}\mathbf N^T\mathbf b\,d\Omega =\frac{V_e}{4} \begin{bmatrix}\mathbf b\\mathbf b\\mathbf b\\mathbf b\end{bmatrix}. $$
Sur une face triangulaire de sommets $i,j,k$ et de traction constante,
$$ \mathbf f_{e,i}^{\,t} =\mathbf f_{e,j}^{\,t} =\mathbf f_{e,k}^{\,t} =\frac{A_f}{3}\overline{\mathbf t}. $$
Ces expressions conservent la resultante et le premier moment. Une pression $p$ utilise $\overline{\mathbf t}=-p\mathbf n$ avec la normale de face orientee vers l'exterieur.
6. Consistance et convergence¶
La partition de l'unite et la reproduction lineaire donnent
$$ \sum_aN_a=1, \qquad \sum_aN_a\mathbf x_a=\mathbf x. $$
Le TET4 reproduit donc exactement les translations, rotations infinitesimales et champs de deplacement affines. Cette propriete est necessaire au patch test de contrainte constante, mais elle n'assure pas seule une bonne convergence en flexion ou pres d'un gradient de contrainte.
Pour une famille reguliere de maillages et une solution suffisamment lisse, l'erreur d'energie attendue est d'ordre $O(h)$ et l'erreur $L^2$ de deplacement d'ordre $O(h^2)$. Ces ordres sont asymptotiques; les singularites, les tetraedres aplatis et l'incompressibilite les degradent.
7. Residus et estimateurs elementaires¶
Le residu fort dans un TET4 sans force volumique variable est
$$ \mathbf r_e=\mathbf b+\nabla\cdot\boldsymbol\sigma_h. $$
Comme $\boldsymbol\sigma_h$ est constante, $\nabla\cdot\boldsymbol\sigma_h=\mathbf0$ dans l'interieur. L'information d'erreur provient alors principalement des sauts de traction entre elements :
$$ \mathbf j_f= \boldsymbol\sigma_h^+\mathbf n^+ +\boldsymbol\sigma_h^-\mathbf n^-. $$
Une contrainte nodale lissee ne remplace pas ce controle et ne doit jamais etre interpretee comme une nouvelle solution EF.
8. Matrice minimale de tests¶
| ID | Preuve | Observable | Critere |
|---|---|---|---|
| TET4-FW-01 | Partition de l'unite | $\sum N_a$ | erreur < 1e-14 |
| TET4-FW-02 | Reproduction affine | $\mathbf u_h-\mathbf u$ | erreur < 1e-12 |
| TET4-FW-03 | Translation rigide | $\mathbf K_e\mathbf d$ | norme < 1e-10 |
| TET4-FW-04 | Rotation rigide | energie | < 1e-10 |
| TET4-FW-05 | Patch contrainte constante | $\sigma_{xx},\sigma_{xy}$ | erreur < 1e-10 |
| TET4-FW-06 | Charge volumique | force et moment | conservation < 1e-12 |
| TET4-FW-07 | Pression de face | force et moment | conservation < 1e-12 |
| TET4-FW-08 | Energie | $2U-\mathbf u^T\mathbf f$ | relatif < 1e-9 |
| TET4-FW-09 | Raffinement | norme energie | pente coherente avec $O(h)$ |
| TET4-FW-10 | Incompressibilite | conditionnement/erreur | limite documentee |
9. Exemple reproductible¶
python .\qf_solver.py solve --input .\examples\tet4_static.json `
--output .\results\tet4_formulation_faible.json
python -m pytest tests\unit\test_tet4_element.py `
tests\verification\test_meshed_benchmarks.py
Le rapport doit contenir volume oriente, residu libre, energie, reactions, deplacement maximal et controles de maillage.
10. Limites et references¶
- formulation deplacement, donc verrouillage volumique pres de $\nu=0.5$;
- deformation et contrainte constantes par element;
- flexion et gradients de contrainte exigeant un raffinement important;
- aucune convergence ponctuelle revendiquee sur une singularite;
- qualite du maillage obligatoire avant resolution.
References : REF-FEM-BATHE, REF-SOLID-INDUSTRIAL, code
solveur/elements/solid/tet4.py, exigences REQ-SOL-001,
REQ-MESH-001 et REQ-CMP-003.