Element solide TET4¶

Chapitres detailles¶

stable - statique lineaire bornee

Cette fiche technique est un document historique detaille. Le mot stable est un raccourci de cette fiche et ne remplace pas le statut combinaison- niveau du registry v2 0.2.7, qui borne la qualification TET4 par element, analyse, materiau et route.

Le TET4 est un tetraedre lineaire a quatre sommets et douze ddl de translation. Il reproduit exactement un deplacement affine et une deformation constante.

Geometrie, numerotation et coordonnees du TET4

Geometrie et orientation¶

Pour les sommets $\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_4$:

$$ V=\frac16\det\left[ \mathbf x_2-\mathbf x_1\quad \mathbf x_3-\mathbf x_1\quad \mathbf x_4-\mathbf x_1\right]. $$

La connectivite est directe si $V>0$. Le code refuse $V\le10^{-14}$ dans les unites du modele. Ce seuil absolu rend indispensable une echelle geometrique coherente; la validation ajoute des indicateurs relatifs de qualite.

Interpolation barycentrique¶

Dans le tetraedre de reference $(r,s,t)$:

$$ L_1=1-r-s-t,\quad L_2=r,\quad L_3=s,\quad L_4=t, \qquad N_i=L_i. $$

La geometrie et le deplacement sont interpoles par les memes fonctions:

$$ \mathbf x=\sum_{i=1}^4N_i\mathbf x_i, \qquad \mathbf u=\sum_{i=1}^4N_i\mathbf u_i. $$

Le code forme la matrice

$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} 1&x_1&y_1&z_1\ 1&x_2&y_2&z_2\ 1&x_3&y_3&z_3\ 1&x_4&y_4&z_4 \end{bmatrix} $$

et extrait $\nabla N_i$ de $\mathbf A^{-1}$. Ces gradients sont constants.

Matrice deformation-deplacement¶

Pour $\nabla N_i=[N_{i,x},N_{i,y},N_{i,z}]$ et l'ordre de Voigt du solveur:

$$ \mathbf B_i= \begin{bmatrix} N_{i,x}&0&0\ 0&N_{i,y}&0\ 0&0&N_{i,z}\ N_{i,y}&N_{i,x}&0\ 0&N_{i,z}&N_{i,y}\ N_{i,z}&0&N_{i,x} \end{bmatrix},\qquad \mathbf B=[\mathbf B_1\ \mathbf B_2\ \mathbf B_3\ \mathbf B_4]. $$

Ainsi $\boldsymbol\varepsilon=\mathbf B\mathbf u_e$ est constant dans l'element.

Rigidite, masse et efforts internes¶

Pour une elasticite homogene:

$$ \mathbf K_e=V\mathbf B^T\mathbf D\mathbf B. $$

La matrice est symetrisee numeriquement. Un element libre valide presente six modes rigides et six modes deformables.

La masse coherente utilise des blocs $3\times3$:

$$ \mathbf M_{ij}=\frac{\rho V}{20} \begin{cases}2\mathbf I_3&i=j,\\mathbf I_3&i\ne j.\end{cases} $$

Pour une loi non lineaire locale:

$$ \mathbf f_{int,e}=V\mathbf B^T\boldsymbol\sigma, \qquad \mathbf K_{T,e}=V\mathbf B^T\mathbf D_T\mathbf B. $$

Un seul etat materiau est necessaire, le champ de deformation etant constant.

Chargements¶

Les forces volumiques et la gravite utilisent l'integration de $\mathbf N^T$. Une traction ou pression constante sur une face triangulaire conduit a une force nodale coherente repartie sur les trois sommets. L'audit verifie la resultante et le premier moment.

Post-traitement¶

La deformation, la contrainte et von Mises sont elementaires et constants. Les contraintes principales sont les valeurs propres du tenseur symetrique reconstruit. Les valeurs nodales exportees sont des moyennes des elements adjacents; elles ne doivent pas etre confondues avec une nouvelle solution EF.

Deformee du cas TET4 officiel

Forme initiale en gris, deformee amplifiee et coloree par la norme du deplacement. Les valeurs sont regenerees par le solveur.

--8<-- "docs/generated/tet4_results.md"

Domaine de validite et limites¶

efficace pour maillages 3D non structures et grands volumes de calcul;
convergence lente en flexion et pour les gradients de contrainte;
fort impact des elements aplatis;
verrouillage volumique attendu lorsque $\nu$ approche $0.5$;
contraintes discontinues, donc convergence locale a etudier;
aucune valeur au voisinage d'une singularite ne doit etre acceptee sur un seul maillage.

Tracabilite¶

Code: solveur/elements/solid/tet4.py. Tests principaux: tests/unit/test_tet4_element.py, tests/unit/test_distributed_loads.py et tests/integration/test_qualification_campaign.py. Exigence: REQ-SOL-001.

Bloc d'equations	Reference	Code	Preuve	Exigence
Travaux virtuels, $B$, $K_e$, $M_e$	REF-FEM-BATHE	`tet4.py`	patch affine, modes rigides, energie	`REQ-SOL-001`
Volume oriente et mapping	REF-FEM-BATHE	`tet4.py`, `mesh/quality.py`	element inverse/degenere	`REQ-MESH-001`
Domaine d'emploi TET4	REF-SOLID-INDUSTRIAL	documentation	convergence h	`REQ-CMP-003`

Contrat documentaire et demonstration¶

Rubrique exigee	Contenu et preuve
Geometrie et DDL	Tetraedre oriente, 4 noeuds et 12 translations; geometrie et DDL.
Formulation mathematique	Interpolation barycentrique, $B$ constante, rigidite et masse; derivation.
Integration et algorithme	Rigidite exacte par volume constant, assemblage et charges; matrices et charges.
Exemple executable	`python .\qf_solver.py solve --input .\examples\tet4_static.json --output .\results\tet4.json`
Maillage	Tetraedre de reference puis familles raffinees des benchmarks.
Chargement et conditions limites	Charges nodales/pression et blocages supprimant les modes rigides.
Tableau de resultats	Resultats solides generes.
Figure de deformee	Maillage initial et deforme amplifie ci-dessous.
Invariants	Volume positif, symetrie, six modes rigides, patch affine, residu, equilibre et energie.
Convergence	Traction, flexion, torsion et patch.
Limites	Verrouillage volumique, contrainte constante et sensibilite aux elements aplatis.
References	`REF-FEM-BATHE`, formules et exigences TET4 tracees.

Deformee TET4 generee

Cette page attend une Owner review documentaire. Sa demonstration ne change ni la maturite actuelle ni le statut de qualification.